ベクトル解析のテキストとしてすすめられます。 例題が多く、学びやすいと思います。
1. ベクトル代数
2. 直交座標系とベクトル
3. ベクトルの微分法
4. ベクトルの積分法
5. 直交曲線座標
6. 幾何学への応用
7. 力学への応用
8. 流体力学への応用
9. 電磁気理論への応用
10. 微分形式
数学者によるベクトル解析の本です。
同じシリーズの「線型代数学」「多様体入門」「ルベーグ積分入門」
ほど有名ではないかもしれませんが、良書だと思います。
時々参照します。
I. ベクトル代数
1. ベクトルの概念
2. ベクトルの計量的性質
3. テンソル
II. ベクトル解析
1. ベクトル函数
2. ベクトル場と微分形式
3. 線積分と面積分
4. 積分定理
5. 曲線座標系
III. 力学への応用
1. 束縛力の計算
2. 剛体の平衡条件
3. 仮想仕事の原理とラグランジュの方程式
4. 相対運動
最初の数章を読んで、旧来の物理数学としてのベクトル解析と大きく違うことに驚きました。
双対空間・テンソル代数・外積代数などは、この本で学び始めました。
1. ベクトルとは
2. ベクトル空間
3. 双対ベクトル空間
4. ベクトル空間の双対性
5. 双線形関数
6. 多重線形関数とテンソル空間
7. テンソル代数
8. イデヤル
9. 外積代数
10. 外積代数の構造
11. 計量をもつベクトル空間
12. 正規直交基底
13. 内積と基底
14. 基底の変換
15. R^3のベクトルの外積
16. グリーンの公式
17. 微分形式の導入
18. グリーンの公式と微分形式
19. 外微分の不変性
20. グリーンの公式の不変性
21. R^3上の微分形式
22. ガウスの定理
23. 微分形式の引き戻し
24. ストークスの定理
25. 曲面上の局所座標
26. 曲面上の微分形式
27. 多様体の定義
28. 余接空間と微分形式
29. 接空間
30. リーマン計量
1. ベクトル代数
2. ベクトル空間の1次変換
3. スカラー積
4. R^3におけるベクトル積
5. 自己準同型対応
6. 実数上のベクトル値関数
7. ベクトルを変数とするスカラー値関数
8. ベクトルを変数とするベクトル値関数
9. テンソル積および多元環
10. 位相数学と解析学からの準備
11. 微分形式の微分法
12. 積分定理
13. 複素構造
1. ベクトル空間
2. 線形作用素
3. テンソル空間
4. ベクトル空間の計量
5. ベクトル空間における位相と計量アファイン空間
6. ベクトル空間における曲線論
7. スカラー場とベクトル場の理論
8. テンソル場の理論
9. ストークスの定理
10. 物理学への応用
1. 平面上のベクトル解析
1. ベクトルとベクトル場
2. 線積分 I
3. 線積分 II
4. ガウスの発散定理 (2次元)
2. 3次元空間のベクトル解析
1. 曲面
2. 面積分
3. ガウスの発散定理 (3次元)
4. ストークスの定理
3. 電磁気学
1. 静電場
2. 電位とポテンシャル
3. 定常電流の作る磁場
4. ベクトルポテンシャル
5. マクスウェルの方程式
1. ベクトル
2. 曲線と曲面
3. 線積分と面積分
4. 曲線の族，曲面の族
第VIII章がベクトル解析に充てられています。
1. ベクトル場とその微分
2. 線積分
3. グリーンの定理
4. ストークスの定理
5. ガウスの定理
6. ポテンシャルの存在条件
7. ニュートン・ポテンシャル
1. ベクトルの内積と外積
2. 曲線論
3. 曲面論
4. 勾配 (grad)
5. 発散 (div) と 回転 (rot)
6. ポテンシャル論
7. 線積分と面積分
8. 積分定理
9. 微分形式からの曲面論
10. ガウス・ボネの定理
11. オイラー・ポアンカレの定理
1. ベクトルの基本的な性質
2. ベクトルの微分
3. 曲線
4. 曲面
5. ベクトル場
6. ベクトル場の積分定理
0. ベクトル解析とは
1. 多変数の微分
2. 多変数の積分
3. なぜベクトル解析なのか - 多次元世界の微積分