\begin{align} \left( 2 \sqrt{13} \right)^2 = 52 , \ \ 7^2 = 49 , \ \ 8^2 = 64 \end{align} から、 $ 7 \lt 2 \sqrt{13} \lt 8 $ がわかり、 $n=7$ がわかる。
\begin{align} b &= \frac{1}{a} \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{13} - 7} \\ &= \frac{7 + 2 \sqrt{13}} {\left( 2 \sqrt{13} - 7 \right) \left(2 \sqrt{13} + 7 \right)} \\ &= \frac{7 + 2 \sqrt{13}}{52-49} \\ &= \frac{7 + 2 \sqrt{13}}{3} \end{align}
\begin{align} a^2 - 9 b^2 &= \left( a + 3b \right) \left( a - 3b \right) \\ &= \left( \left( 2 \sqrt{13} - 7 \right) + \left( 7 + 2 \sqrt{13} \right) \right) \left( \left( 2 \sqrt{13} - 7 \right) - \left( 7 + 2 \sqrt{13} \right) \right) \\ &= 4 \sqrt{13} \cdot (-14) \\ &= -56 \sqrt{13} \end{align}
\begin{align} 7 &\lt 2 \sqrt{13} \lt 8 \\ \therefore \ \ 14 &\lt 7 + 2 \sqrt{13} \lt 15 \\ \therefore \ \ \frac{14}{3} &\lt \frac{7 + 2 \sqrt{13}}{3} \lt \frac{15}{3} \\ \therefore \ \ \frac{14}{3} &\lt b \lt \frac{15}{3} \end{align} より、 $m=14$ がわかる。
\begin{align} 7 &\lt 2 \sqrt{13} \lt 8 \\ \therefore \ \ 3.5 &\lt \sqrt{13} \lt 4 \end{align} より、 $\sqrt{13}$ の整数部分は $3$ であることがわかる。
\begin{align} \frac{3}{15} &\lt 2 \sqrt{13} - 7 \lt \frac{3}{14} \\ \therefore \ \ \frac{108}{15} &\lt 2 \sqrt{13} \lt \frac{101}{14} \\ \therefore \ \ \frac{54}{15} &\lt \sqrt{13} \lt \frac{101}{28} \\ \therefore \ \ 3.6 &\lt \sqrt{13} \lt 3.608 \end{align} より、 $\sqrt{13}$ の小数第1位の数字は $6$ で、 小数第2位の数字は $0$ であることがわかる。