個人的に作っているもので、公式なものではありません。
\begin{align} E[X] &= \sum_{x=0}^\infty x f(x) \\ &= e^{- \lambda} \sum_{x=1}^\infty \frac{\lambda^x}{(x-1)!} \\ &= \lambda e^{- \lambda} \sum_{y=0}^\infty \frac{\lambda^y}{y!} & (y = x-1) \\ &= \lambda e^{- \lambda} \cdot e^\lambda \\ &= \lambda ,\\ E[X(X-1)] &= \sum_{x=0}^\infty x(x-1) f(x) \\ &= e^{- \lambda} \sum_{x=2}^\infty \frac{\lambda^x}{(x-2)!} \\ &= \lambda^2 e^{- \lambda} \sum_{y=0}^\infty \frac{\lambda^y}{y!} & (y = x-2) \\ &= \lambda^2 e^{- \lambda} \cdot e^\lambda \\ &= \lambda^2 ,\\ V[X] &= E \left[ \left( X - E[X] \right)^2 \right] \\ &= E \left[ X^2 \right] - E[X]^2 \\ &= E[X(X-1)] + E[X] - E[X]^2 \\ &= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\ &= \lambda ,\\ E[S_n] &= \sum_{i=1}^n E[X_i] \\ &= n \lambda ,\\ V[S_n] &= \sum_{i=1}^n V[X_i] & ( \because X_1, X_2, \cdots, X_n \text{ は独立 } ) \\ &= n \lambda \end{align}
\begin{align} W_n &= \sum_{k=1}^n S_k \\ &= \sum_{k=1}^n \left( X_1 + X_2 + \cdots + X_k \right) \\ &= X_1 + \left( X_1 + X_2 \right) + \cdots + \left( X_1 + X_2 + \cdots + X_n \right) \\ &= n X_1 + (n-1) X_2 + \cdots + X_n \\ &= \sum_{i=1}^n (n-i+1) X_i \\ \therefore \ \ a_i &= n-i+1 \end{align}
\begin{align} E[W_n] &= E \left[ \sum_{i=1}^n (n-i+1) X_i \right] \\ &= \sum_{i=1}^n (n-i+1) E[X_i] \\ &= \lambda \sum_{k=1}^n k & (k=n-i+1) \\ &= \frac{1}{2}n(n+1) \lambda \tag{a} ,\\ V[W_n] &= V \left[ \sum_{i=1}^n (n-i+1) X_i \right] \\ &= \sum_{i=1}^n (n-i+1)^2 V[X_i] & ( \because X_1, X_2, \cdots, X_n \text{ は独立 } ) \\ &= \lambda \sum_{k=1}^n k^2 & (k=n-i+1) \\ &= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \lambda \tag{b} \end{align}
\begin{align} \tilde{\lambda} = \frac{2 W_n}{n(n+1)} \end{align} とおくと、式 (a) より \begin{align} E \left[ \tilde{\lambda} \right] = \lambda \end{align} であり、これは $\lambda$ の不偏推定量である。
また、分散は \begin{align} V \left[ \tilde{\lambda} \right] &= \frac{4}{n^2(n+1)^2} \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \lambda & ( \because \text{式 (b)} ) \\ &= \frac{2(2n+1)}{3n(n+1)} \lambda \end{align} である。
チェビシェフの不等式 より、任意の実数 $c \gt 0$ について \begin{align} \left( \left| \tilde{\lambda} - \lambda \right| \geq c \text{ である確率 } \right) &\leq \frac{V \left[ \tilde{\lambda} \right]}{c^2} & ( \because \text{ チェビシェフの不等式 } ) \\ &= \frac{2 \lambda}{3c^2} \frac{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} \\ &\to 0 \ \ \ \ (n \to \infty) \end{align} なので、 $\tilde{\lambda}$ は $\lambda$ の一致推定量である。
\begin{align} V \left[ \hat{\lambda} \right] &= \frac{1}{n^2} \cdot n \lambda \\ &= \frac{\lambda}{n} ,\\ \therefore \ \ \frac{ V \left[ \tilde{\lambda} \right] } { V \left[ \hat{\lambda} \right] } &= \frac{ \frac{\lambda}{n} } { \frac{2(2n+1)}{3n(n+1)} \lambda } \\ &= \frac{3(n+1)}{2(2n+1)} \\ &= \frac{3 \left(1 + \frac{1}{n} \right)} {2 \left( 2 + \frac{1}{n} \right)} \\ &\to \frac{3}{4} \ \ \ \ ( n \to \infty ) \end{align} なので、 $\tilde{\lambda}$ の $\hat{\lambda}$ に対する漸近相対効率は $3/4$ である。