平均 $1$ の 指数分布 の確率密度関数は \begin{align} f(x) = e^{-x} && (x \gt 0) \end{align} であり、累積分布関数は \begin{align} F(x) &= \int_0^x f(t) dt \\ &= 1 - e^{-x} && (x \gt 0) \end{align} である。
平均 $1$ の指数分布からのサイズ $n$ の無作為標本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ を考え、その最大を $M_n$ とすると、 $M_n$ の累積分布関数は \begin{align} P(M_n \leq m) &= P(X_1 \leq m \text{ and } X_2 \leq m \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \leq m) \\ &= P(X_1 \leq m ) P(X_2 \leq m ) \cdots P(X_n \leq m ) \\ &= \left( 1 - e^{-m} \right)^n && ( m \gt 0 ) \end{align} である。 $m = y + \log n$ とすると、 \begin{align} \left( 1 - e^{-y - \log n} \right)^n &= \left( 1 - \frac{e^{-y}}{n} \right)^n \\ &\xrightarrow{n \to \infty} \exp \left( -e^{-y} \right) \end{align} となる。 これは ガンベル分布 の累積分布関数である。