負の2項分布

$n=1,2,\cdots$ とする。

負の2項係数

$k=1,2,\cdots$ について $$\begin{array}{rl}\frac{d^k}{d{x}^k}{(x+1)}^{-n}& =(-n)(-n-1)\cdots (-n-k+1){(x+1)}^{-n-k}\\ & =(-1{)}^{k}n(n+1)\cdots (n+k-1){(x+1)}^{-n-k}\\ & =(-1{)}^k\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}{(x+1)}^{-n-k}\\ \therefore {\frac{d^k}{d{x}^k}{(x+1)}^{-n}|}_{x=0}& =(-1{)}^k\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}\end{array}$$ なので、以下のようにテイラー展開される： $$\begin{array}{rl}{(x+1)}^{-n}& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}{x}^k\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})x^k& ((\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})={}_{n+k-1}{\mathrm{C}}_k\text{ は2項係数 })\\ \text{(a)}& & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k})x^k.\end{array}$$ ここで、負の2項係数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k})$ を $$\begin{array}{}\text{(b)}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k}):=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})=(-1{)}^k\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\end{array}$$ で定義した。 これが負の2項係数と呼ばれる理由は、式 (a) が、通常の2項定理 $$\begin{array}{r}{(x+1)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k\end{array}$$ に似ているからである。

なお、 $$\begin{array}{rl}\left|\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k+1})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k})}\right|& =\frac{\frac{(n+k)!}{(k+1)!(n-1)!}}{\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}=\frac{n+k}{k+1}=\frac{\frac{n}{k}+1}{1+\frac{1}{k}}\stackrel{k\to \mathrm{\infty }}{\to }1\end{array}$$ なので、 (a) が収束するのは $|x|<1$ のときである。

また、 $a\ne 0$ として、 $$\begin{array}{rl}{(x+a)}^{-n}& =a^{-n}{(\frac{x}{a}+1)}^{-n}\\ & =a^{-n}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k}){\left(\frac{x}{a}\right)}^k& (\because \text{(a)})\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k})x^k{a}^{-n-k}\end{array}$$ であり、これが収束するのは $|x/a|<1$ のときである。

負の2項分布

表が出る確率 $p$ のコインを投げるベルヌイ試行を考える。 表が $n$ 回出るまでに裏が出る回数を $X$ とすると、 これは確率変数である。 $X=k(=0,1,2,\cdots )$ というのは、 初めの $n+k-1$ 回のうち、 表が $n-1$ 回で、裏が $k$ 回であり、 $n+k$ 回目に表が出ることを意味する。 よって、これが起こる確率は $$\begin{array}{rl}p(k)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})p^{n-1}(1-p{)}^k\cdot p\\ \text{(c)}& & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})p^n(1-p{)}^k& (k=0,1,2,\cdots )\end{array}$$ である。 確率関数が (c) で与えられる確率分布を負の2項分布と呼ぶ。

(c) が規格化条件を満たすことは、次のようにして確認できる： $$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)& =p^n\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})(1-p{)}^k\\ & =p^n\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k})(p-1{)}^k& (\because \text{(b)})\\ & =p^n{((p-1)+1)}^{-n}& (\because \text{(a)})\\ & =p^n{p}^{-n}\\ & =1.\end{array}$$ 期待値は、次のように計算できる： $$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}kp(k)\\ & =p^n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})k(1-p{)}^k\\ & =p^n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}k(1-p{)}^k\\ & =p^n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n+k-1)!}{(k-1)!(n-1)!}(1-p{)}^k\\ & =p^n\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n+m)!}{m!(n-1)!}(1-p{)}^{m+1}\\ & =n{p}^n(1-p)\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{((n+1)+m-1)!}{m!((n+1)-1)!}(1-p{)}^m\\ & =n{p}^n(1-p)\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-(n+1)}{m})(p-1{)}^m& (\because \text{(b)})\\ & =n{p}^n(1-p){((p-1)+1)}^{-(n+1)}& (\because \text{(a)})\\ & =n{p}^n(1-p)p^{-(n+1)}\\ & =\frac{n(1-p)}{p}.\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{rl}E(X(X-1))& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)p(k)\\ & =p^n\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})k(k-1)(1-p{)}^k\\ & =p^n\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}k(k-1)(1-p{)}^k\\ & =p^n\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n+k-1)!}{(k-2)!(n-1)!}(1-p{)}^k\\ & =p^n\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n+m+1)!}{m!(n-1)!}(1-p{)}^{m+2}\\ & =n(n+1)p^n(1-p{)}^2\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{((n+2)+m-1)!}{m!((n+2)-1)!}(1-p{)}^m\\ & =n(n+1)p^n(1-p{)}^2\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-(n+2)}{m})(p-1{)}^m& (\because \text{(b)})\\ & =n(n+1)p^n(1-p{)}^2{((p-1)+1)}^{-(n+2)}& (\because \text{(a)})\\ & =n(n+1)p^n(1-p{)}^2{p}^{-(n+2)}\\ & =\frac{n(n+1)(1-p{)}^2}{p^2}\end{array}$$ なので、分散は $$\begin{array}{rl}V(X)& =E\left({(X-E(X))}^2\right)\\ & =E\left(X^2\right)-E(X{)}^2\\ & =E(X(X-1))+E(X)-E(X{)}^2\\ & =\frac{n(n+1)(1-p{)}^2}{p^2}+\frac{n(1-p)}{p}-{\left(\frac{n(1-p)}{p}\right)}^2\\ & =\frac{n(1-p)}{p^2}\end{array}$$ である。