$n=1,2,\cdots$ とする。
$k=1,2,\cdots$ について \begin{align} \frac{d^k}{dx^k} \left( x + 1 \right)^{-n} &= (-n)(-n-1) \cdots (-n-k+1) \left( x + 1 \right)^{-n-k} \\ &= (-1)^k n(n+1) \cdots (n+k-1) \left( x + 1 \right)^{-n-k} \\ &= (-1)^k \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!} \left( x + 1 \right)^{-n-k} \\ \therefore \ \ \left. \frac{d^k}{dx^k} \left( x + 1 \right)^{-n} \right|_{x=0} &= (-1)^k \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!} \end{align} なので、以下のようにテイラー展開される： \begin{align} \left( x + 1 \right)^{-n} &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} x^k \\ &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \binom{n+k-1}{k} x^k & \left( \binom{n+k-1}{k} = {}_{n+k-1} \mathrm{C}_k \text{ は2項係数 } \right) \\ &= \sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k} x^k . \tag{a} \end{align} ここで、負の2項係数 $\binom{-n}{k}$ を \begin{align} \binom{-n}{k} := (-1)^k \binom{n+k-1}{k} = (-1)^k \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} \tag{b} \end{align} で定義した。 これが負の2項係数と呼ばれる理由は、式 (a) が、通常の2項定理 \begin{align} \left( x + 1 \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k \end{align} に似ているからである。
なお、 \begin{align} \left| \frac{\binom{-n}{k+1}}{\binom{-n}{k}} \right| &= \frac{\frac{(n+k)!}{(k+1)!(n-1)!}} {\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}} = \frac{n+k}{k+1} = \frac{\frac{n}{k}+1}{1+\frac{1}{k}} \xrightarrow{k \to \infty} 1 \end{align} なので、 (a) が収束するのは $|x| \lt 1$ のときである。
また、 $a \ne 0$ として、 \begin{align} \left( x + a \right)^{-n} &= a^{-n} \left( \frac{x}{a} + 1 \right)^{-n} \\ &= a^{-n} \sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k} \left( \frac{x}{a} \right)^k & ( \because \text{(a)} ) \\ &= \sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k} x^k a^{-n-k} \end{align} であり、これが収束するのは $|x/a| \lt 1$ のときである。
表が出る確率 $p$ のコインを投げるベルヌイ試行を考える。 表が $n$ 回出るまでに裏が出る回数を $X$ とすると、 これは確率変数である。 $X=k \ (=0, 1, 2, \cdots)$ というのは、 初めの $n+k-1$ 回のうち、 表が $n-1$ 回で、裏が $k$ 回であり、 $n+k$ 回目に表が出ることを意味する。 よって、これが起こる確率は \begin{align} p(k) &= \binom{n+k-1}{k} p^{n-1} (1-p)^k \cdot p \\ &= \binom{n+k-1}{k} p^n (1-p)^k &( k = 0, 1, 2, \cdots ) \tag{c} \end{align} である。 確率関数が (c) で与えられる確率分布を負の2項分布と呼ぶ。
(c) が規格化条件を満たすことは、次のようにして確認できる： \begin{align} \sum_{k=0}^\infty p(k) &= p^n \sum_{k=0}^\infty \binom{n+k-1}{k} (1-p)^k \\ &= p^n \sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k} (p-1)^k & ( \because \text{(b)} ) \\ &= p^n \left( (p-1) + 1 \right)^{-n} & ( \because \text{(a)} ) \\ &= p^n p^{-n} \\ &= 1 . \end{align} 期待値は、次のように計算できる： \begin{align} E(X) &= \sum_{k=0}^\infty k p(k) \\ &= p^n \sum_{k=1}^\infty \binom{n+k-1}{k} k (1-p)^k \\ &= p^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} k (1-p)^k \\ &= p^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(n+k-1)!}{(k-1)!(n-1)!} (1-p)^k \\ &= p^n \sum_{m=0}^\infty \frac{(n+m)!}{m!(n-1)!} (1-p)^{m+1} \\ &= n p^n (1-p) \sum_{m=0}^\infty \frac{((n+1)+m-1)!}{m!((n+1)-1)!} (1-p)^m \\ &= n p^n (1-p) \sum_{m=0}^\infty \binom{-(n+1)}{m} (p-1)^m & ( \because \text{(b)} ) \\ &= n p^n (1-p) \left( (p-1) + 1 \right)^{-(n+1)} & ( \because \text{(a)} ) \\ &= n p^n (1-p) p^{-(n+1)} \\ &= \frac{n(1-p)}{p} . \end{align} また、 \begin{align} E \left( X (X-1) \right) &= \sum_{k=0}^\infty k(k-1) p(k) \\ &= p^n \sum_{k=2}^\infty \binom{n+k-1}{k} k(k-1) (1-p)^k \\ &= p^n \sum_{k=2}^\infty \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} k(k-1) (1-p)^k \\ &= p^n \sum_{k=2}^\infty \frac{(n+k-1)!}{(k-2)!(n-1)!} (1-p)^k \\ &= p^n \sum_{m=0}^\infty \frac{(n+m+1)!}{m!(n-1)!} (1-p)^{m+2} \\ &= n(n+1) p^n (1-p)^2 \sum_{m=0}^\infty \frac{((n+2)+m-1)!}{m!((n+2)-1)!} (1-p)^m \\ &= n(n+1) p^n (1-p)^2 \sum_{m=0}^\infty \binom{-(n+2)}{m} (p-1)^m & ( \because \text{(b)} ) \\ &= n(n+1) p^n (1-p)^2 \left( (p-1) + 1 \right)^{-(n+2)} & ( \because \text{(a)} ) \\ &= n(n+1) p^n (1-p)^2 p^{-(n+2)} \\ &= \frac{n(n+1)(1-p)^2}{p^2} \end{align} なので、分散は \begin{align} V(X) &= E \left( \left( X - E(X) \right)^2 \right) \\ &= E \left( X^2 \right) - E(X)^2 \\ &= E \left( X(X-1) \right) + E(X) - E(X)^2 \\ &= \frac{n(n+1)(1-p)^2}{p^2} + \frac{n(1-p)}{p} - \left( \frac{n(1-p)}{p} \right)^2 \\ &= \frac{n(1-p)}{p^2} \end{align} である。