\begin{align} A = \frac{1}{3} B , \ \ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} である。 $B$ の固有値を $b$ とすると \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 1-b & 0 & 2 \\ -1 & 3-b & 1 \\ 1 & 0 & -b \end{pmatrix} \\ &= -(b+1)(b-2)(b-3) \\ \therefore \ \ \lambda &= -1, 2, 3 \end{align} である。 $B$ の固有値 $b=-1$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $x=2y,x+z=0$ となる。 $B$ の固有値 $b=2$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $x=2z,y=z$ となる。 $B$ の固有値 $b=3$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $x=z=0$ となる。 そこで、 \begin{align} P = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 \begin{align} \det P &= -6 \\ P^{-1} &= - \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 3 & -6 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \end{align} であり、 \begin{align} P^{-1} B P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} , \ \ P^{-1} A P = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{align} が成り立つ。
\begin{align} \lim_{n \to \infty} A^n &= \lim_{n \to \infty} P \left( P^{-1} A P \right)^n P^{-1} \\ &= \lim_{n \to \infty} P \begin{pmatrix} \left( - \frac{1}{3} \right)^n & 0 & 0 \\ 0 & \left( \frac{2}{3} \right)^n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{2} & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}