\begin{align} \iint_R \left( 1 - x^2 - y^2 \right) dx dy &= \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 dr \ r \left( 1 - r^2 \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = r \cos \theta, y = r \sin \theta ) \\ &= 2 \pi \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 \\ &= \frac{\pi}{2} \end{align}
$ 0 \leq t \leq a $ として、 3点 $(t,0,0),(0,t,0),(0,0,t)$ を頂点とする正三角形を考えると、 この三角形上の点 $(x,y,z)$ について $x+y+z=t$ であり、 この三角形の面積は \begin{align} S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} t^2 \end{align} である。 よって、 \begin{align} \iiint_R \left( x+y+z \right) dx dy dz &= \int_0^a t S(t) dt \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \int_0^a t^3 dt \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^a \\ &= \frac{\sqrt{3}}{8} a^4 \end{align} である。