九州大学 大学院
経済学府 経済工学専攻
2020年度 経済数学 問1

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(1)

(a)

$\det X = -9t$ なので、 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3$ が1次独立になるのは、 $t \ne 0$ のときである。

(b)

$$\begin{align} \boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{align}$$ とすると、 $$\begin{align} X \boldsymbol{c} = a \boldsymbol{x}_1 + b \boldsymbol{x}_2 + c \boldsymbol{x}_3 \end{align}$$ なので、 $X \boldsymbol{c}$ は $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3$ の1次結合で表される。 また、 $$\begin{align} X^T X \boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1^T (X \boldsymbol{c}) \\ \boldsymbol{x}_2^T (X \boldsymbol{c}) \\ \boldsymbol{x}_3^T (X \boldsymbol{c}) \end{pmatrix} \end{align}$$ と表されるので、 $X^T X \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}_3$ は、 $X \boldsymbol{c}$ が $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3$ のいずれとの内積も $0$ であることを意味する。 したがって、 $X^T X \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}_3$ ならば、 $X \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}_3$ である。

(c)

$$\begin{align} \det \left( X^T X \right) &= \left( \det X^T \right) \left( \det X \right) \\ &= \left( \det X \right)^2 \\ &= 81t^2 \end{align}$$ なので、 $X^T X$ が正則なのは $t \ne 0$ のときである。