$p,q,r,s \in \mathbb{R}$ について \begin{align} A \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} が成り立つとすると \begin{align} p+r=0, \ \ q+3r+3s=0 \end{align} となるので、 \begin{align} \mathrm{Ker}(f) = \left\{ \begin{pmatrix} -r \\ -3r-3s \\ r \\ s \end{pmatrix} \middle| r, s \in \mathbb{R} \right\} \end{align} がわかる。 よって、 $\mathrm{Ker}(f)$ の次元は $2$ であり、例えば \begin{align} \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} は基底となる。
$\mathrm{Ker}(f)$ が与えられた条件 C1, C2, C3 を満たすことを確認すればよい。
(C1 の確認) \begin{align} A \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} \end{align} なので $\boldsymbol{0} \in \mathrm{Ker}(f)$ がわかる。
(C2 の確認) $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathrm{Ker}(f)$ とすると \begin{align} A \boldsymbol{u} = A \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} \end{align} であり、このとき \begin{align} f( \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} ) &= A( \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} ) \\ &= A \boldsymbol{u} + A \boldsymbol{v} \\ &= \boldsymbol{0} + \boldsymbol{0} \\ &= \boldsymbol{0} \end{align} となるので、 $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} \in \mathrm{Ker}(f)$ がわかる。
(C3 の確認) $\boldsymbol{u} \in \mathrm{Ker}(f)$ とすると \begin{align} A \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \end{align} であり、このとき、 $c \in \mathrm{R}$ について \begin{align} f( c \boldsymbol{u} ) &= A c \boldsymbol{u} \\ &= c A \boldsymbol{u} \\ &= c \boldsymbol{0} \\ &= \boldsymbol{0} \end{align} となるので、 $c \boldsymbol{u} \in \mathrm{Ker}(f)$ がわかる。
$S$ が $\mathbb{R}^n$ の部分空間であるとき、 $\boldsymbol{0} \in S$ であるから \begin{align} A \boldsymbol{0} = \boldsymbol{b} \end{align} が成り立つ。 これの左辺は $\boldsymbol{0}$ であるから右辺も $\boldsymbol{0}$ もであり、 \begin{align} \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} \end{align} がわかる。
$S$ が $\mathbb{R}^n$ の部分空間であるとき、 C1 から $\boldsymbol{0} \in S$ であり、 (3) から $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$ である。 よって、 $\boldsymbol{x} \in S$ とすると、 \begin{align} A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \end{align} であるが、 $A$ が正則行列のとき逆行列 $A^{-1}$ が存在し、 \begin{align} A^{-1} A \boldsymbol{x} &= A^{-1} \boldsymbol{0} \\ \therefore \ \ \boldsymbol{x} &= \boldsymbol{0} \end{align} が得られる。 $\boldsymbol{x} \in S$ から $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ が得られたので \begin{align} S = \left\{ \boldsymbol{0} \right\} \end{align} である。