京都大学 大学院 工学研究科
先端化学専攻群
2023年度 化学II 物理化学

• 問題はこちらから入手してください。
• 以下の解答はドラフト版です。
• 環境によっては、数式の表示に時間がかかる場合があります。

問 1

(1)

(a)

$$\begin{align} W_\mathrm{A \to B} = - C_V (T_2 - T_1) \end{align}$$

(b)

$$\begin{align} W_\mathrm{B \to C} = 0 \end{align}$$

(c)

$$\begin{align} Q_\mathrm{B \to C} = C_V (T_3 - T_2) \end{align}$$

(d)

$$\begin{align} \Delta S_\mathrm{B \to C} &= \int_{T_2}^{T_3} \frac{C_V dT}{T} \\ &= C_V \ln \frac{T_3}{T_2} \end{align}$$

(2)

温度 $T$ 、圧力 $p$ 、体積 $V$ として、断熱過程では $$\begin{align} C_V dT &= -p dV \\ &= - \frac{RT}{V} dV \\ \therefore \ \ C_V \frac{dT}{T} &= -R \frac{dV}{V} \end{align}$$ が成り立つので、過程 A $\to$ B において $$\begin{align} C_V \ln \frac{T_2}{T_1} &= -R \ln \frac{V_2}{V_1} \\ \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{C_V} &= \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{-R} \\ &= \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^R \\ \therefore \ \ \frac{T_2}{T_1} &= \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\frac{R}{C_V} \\ &= \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\frac{C_p-C_V}{C_V} \\ &= \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1} \end{align}$$ が成り立つことがわかる。

(3)

過程 C → D, D → A において外界にした仕事はそれぞれ $$\begin{align} W_\mathrm{C \to D} = - C_V (T_4 - T_3) , \ \ W_\mathrm{D \to A} = 0 \tag{iii} \end{align}$$ である。 また、 (ii) と同様に、過程 C → D において $$\begin{align} \frac{T_4}{T_3} &= \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1} \tag{iv} \end{align}$$ が成り立つ。 よって、 $$\begin{align} \eta &= \frac{ W_\mathrm{A \to B} + W_\mathrm{B \to C} + W_\mathrm{C \to D} + W_\mathrm{D \to A} }{Q_\mathrm{B \to C}} \\ &= \frac{ - C_V (T_2 - T_1) - C_V (T_4 - T_3) }{C_V (T_3 - T_2)} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (1), (iii) } ) \\ &= 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} \\ &= 1 - \frac{ \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1} (T_3 - T_1)}{T_3 - T_2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (ii), (iv) } ) \\ &= 1 - \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1} \end{align}$$ を得る。