京都大学 大学院 理学研究科
地球惑星科学専攻
2023年度 基礎科目 問題1

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[1]

$t=\sqrt{1-x}$ とおいて、次のように計算できる： $$\begin{align} \int x \sqrt{1-x} dx &= \int (1-t^2) t (-2tdt) \\ &= 2 \int (t^4-t^2) dt \\ &= \frac{2}{5}t^5 - \frac{2}{3}t^3 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{2}{5}(1-x)^\frac{5}{2} - \frac{2}{3}(1-x)^\frac{3}{2} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align}$$

[2]

$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ の $(i,j)$ 成分を $A_{ij}, B_{ij}$ とすると、 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ の $(i,j)$ 成分はそれぞれ $$\begin{align} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)_{ij} &= \sum_k A_{ik} B_{kj} \\ \left( \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \right)_{ij} &= \sum_k B_{ik} A_{kj} \end{align}$$ であり、 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ のトレースはそれぞれ $$\begin{align} \mathrm{tr} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) &= \sum_i \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)_{ii} \\ &= \sum_i \sum_k A_{ik} B_{ki} \\ \mathrm{tr} \left( \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \right) &= \sum_i \left( \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \right)_{ii} \\ &= \sum_i \sum_k B_{ik} A_{ki} \end{align}$$ であるから、これらが等しいことがわかる。

[3]

$$\begin{align} \begin{pmatrix} -3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & - \frac{1}{2} \\ 2 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$$

[4]

まず、 $$\begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 6y = 0 \end{align}$$ に $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 $\lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda+3)(\lambda-2) = 0$ から $\lambda=-3,2$ を得るので、この微分方程式の一般解は $$\begin{align} y = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{2x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( c_1, c_2 \text{ は積分定数 } ) \end{align}$$ であることがわかる。 次に、与えられた微分方程式に $y=Axe^{-3x}$ （ $A$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 $A=1/5$ を得るので、与えられた微分方程式の一般解は $$\begin{align} y = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{2x} + \frac{1}{5} xe^{-3x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( c_1, c_2 \text{ は積分定数 } ) \end{align}$$ であることがわかる。

[5]

$A$ の固有値は $-1,-3$ であり、それぞれに属する固有ベクトルは、 $$\begin{align} \boldsymbol{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$$ である。 そこで、 $$\begin{align} \boldsymbol{P} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$$ とおくと、 $$\begin{align} \boldsymbol{P}^2 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} ,\\ \det \boldsymbol{P} &= -1 \end{align}$$ が成り立つ。 そこで、 $$\begin{align} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{align}$$ とおいて、次のように計算できる： $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \exp \left( \boldsymbol{x}^t \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \right) dx_1 dx_2 &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \exp \left( -y_1^2 -3y_2^2 \right) dy_1 dy_2 \\ &= \int_{-\infty}^\infty \exp \left( -y_1^2 \right) dy_1 \int_{-\infty}^\infty \exp \left( -3y_2^2 \right) dy_2 \\ &= \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{\pi}{\sqrt{3}} \end{align}$$