まず、 $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ より、 \begin{align} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} , \ \ \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} , \ \ \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r} \end{align} であり、また、 $r$ の関数 $f(r)$ について \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{r} \frac{df}{dr} , \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{r} \frac{df}{dr} , \ \ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{z}{r} \frac{df}{dr} \end{align} である。
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x} \left( f(r) x \right) = \frac{x^2}{r} \frac{df}{dr} + f \end{align} などが成り立つから、与えられた式が成り立つことがわかる。
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x} \left( f(r) y \right) = \frac{xy}{r} \frac{df}{dr} \end{align} などが成り立つから、与えられた式が成り立つことがわかる。