名古屋大学 大学院 情報学研究科
知能システム学専攻, 情報システム学専攻
2018年度 確率・統計

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[1]

10分間でその事象が発生する確率の確率分布は、平均5のポアソン分布である。 よって、3回発生する確率は、 $$\begin{align} \frac{5^3 e^{-5}}{3!} &\approx 0.14 \end{align}$$ である。

[3]

(1)

求めるモーメント母関数 $M_X(t)$ は、 $$\begin{align} M_X(t) &= E \left[ e^{tX} \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty e^{tx} e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty e^{ - \frac{x^2 - 2 ( \mu + \sigma^2 t ) x + \mu^2}{2 \sigma^2}} dx \\ &= e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty e^{- \frac{(x - (\mu + \sigma^2 t))^2}{2 \sigma^2}} dx \\ &= e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \end{align}$$ となる。

(2)

求めるモーメント母関数 $M_Z(t)$ は、 $$\begin{align} M_Z(t) &= E \left[ e^{tZ} \right] \\ &= E \left[ e^{t(X+Y)} \right] \\ &= E \left[ e^{tX} \right] E \left[ e^{tY} \right] \\ &= e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \cdot e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \\ &= e^{2 \mu t + \sigma^2 t^2} \end{align}$$ となる。 したがって、 $Z$ は正規分布 $N(2 \mu, 2 \sigma^2)$ に従うことがわかる。