名古屋大学 大学院 情報学研究科
知能システム学専攻, 情報システム学専攻
2020年度 確率・統計 [1]

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(1)

\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{align}

(2)

\begin{align} 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{align}

(3)

\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \end{align}

(4)

求める期待値 $E(\text{表})$ は、 \begin{align} E \left( \text{表} \right) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \cdots \end{align} であるが、両辺 1/2 倍すると、 \begin{align} \frac{1}{2} E \left( \text{表} \right) = 1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 + \cdots \end{align} となる。 1番目の式から2番目の式を引くと、 \begin{align} \frac{1}{2} E \left( \text{表} \right) &= \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \cdots \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 1 \end{align} となるから、 \begin{align} E \left( \text{表} \right) = 2 \end{align} を得る。

(5)

与えられた式を整理して、 \begin{align} E \left( \text{表表} \right) &= 2 E \left( \text{表} \right) + 2 \\ &= 6 \end{align} を得る。

(6)

(5) と同じように考えて、 \begin{align} E \left( \text{表表表} \right) &= 2 E \left( \text{表表} \right) + 2 \\ &= 14 \end{align} を得る。