\begin{align} \langle s_i \rangle &= \frac{ \sum_{s_i = \pm 1} s_i \exp \left( - \frac{H_i}{k_BT} \right) }{ \sum_{s_i = \pm 1} \exp \left( - \frac{H_i}{k_BT} \right) } \\ &= \frac{ \sum_{s_i = \pm 1} s_i \exp \left( \frac{zJms_i}{k_BT} \right) }{ \sum_{s_i = \pm 1} \exp \left( - \frac{zJms_i}{k_BT} \right) } \\ &= \frac{ \exp \left( \frac{zJm}{k_BT} \right) - \exp \left( - \frac{zJm}{k_BT} \right) }{ \exp \left( \frac{zJm}{k_BT} \right) + \exp \left( - \frac{zJm}{k_BT} \right) } \\ &= \tanh \left( \frac{zJm}{k_BT} \right) \end{align}
(i) で求めた式で $\langle s_i \rangle = m$ とすると、 \begin{align} m &= \tanh \left( \frac{zJm}{k_BT} \right) \end{align} となる。
\begin{align} E(m) &= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N H_i \\ &= - \frac{1}{2} zJm \sum_{i=1}^N s_i &( \because \text{ 式 ③ } ) \\ &= - \frac{1}{2} zJm \cdot Nm \\ &= - \frac{1}{2} NzJm^2 \end{align}
$N$ 個のスピンのうち、状態 $\pm 1$ のスピンの数を $N_\pm$ とする（複合同順）と、 \begin{align} N = N_+ + N_- , \ \ m = \frac{N_+ - N_-}{N} \\ \therefore \ \ N_+ = \frac{1+m}{2} N , \ \ N_- = \frac{1-m}{2} N \end{align} である。 よって、 \begin{align} W(m) &= \frac{N!}{N_+!N_-!} \\ &= \frac{N!}{ \left( \frac{1+m}{2} N \right)! \left( \frac{1-m}{2} N \right)! } , \\ S(m) &= k_B \log W(m) \\ &= k_B \log \frac{N!}{N_+! N_-!} \\ &= k_B \left[ \left( N \log N - N \right) - \left( N_+ \log N_+ - N_+ \right) - \left( N_- \log N_- - N_- \right) \right] & ( \because \text{ スターリングの公式 } ) \\ &= k_B \left[ N \log N - N_+ \log N_+ - N_- \log N_- \right] \\ &= k_B \left[ N \log N - N_+ \left( \log N + \log (1+m) - \log 2 \right) - N_- \left( \log N + \log (1-m) - \log 2 \right) \right] \\ &= k_B \left( N \log 2 - \frac{1+m}{2} N \log (1+m) - \frac{1-m}{2} N \log (1-m) \right) \\ &= \frac{1}{2} N k_B \left[ 2 \log 2 - (1+m) \log (1+m) - (1-m) \log (1-m) \right] \end{align}
\begin{align} \frac{\partial F}{\partial m} &= \frac{\partial E}{\partial m} - T \frac{\partial S}{\partial m} \\ &= - NzJm - T \cdot \frac{1}{2} N k_B \left[ - \log (1+m) + \log (1-m) \right] \\ &= - NzJm + N k_B T \tanh^{-1} m \end{align} であり、これが $0$ であるとすると \begin{align} \tanh^{-1} m &= \frac{zJm}{k_BT} \end{align} となり、式 ④ が導かれる。
$T \lt T_c$ のとき、次のような増減表が得られる： \begin{array} {|c|ccccccc|} \hline m & \cdots & -m_0 & \cdots & 0 & \cdots & m_0 & \cdots \\ \hline x & \cdots & -x_0 & \cdots & 0 & \cdots & x_0 & \cdots \\ \hline - \tanh x + (T/T_c) x & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline - m + T/T_c \tanh^{-1} m & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \partial F / \partial m & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline F & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ \hline \end{array} $F(m)$ は $m$ に関して偶関数であるから、 $F(m)$ が最小になるのは $|m| = m_0$ のときであることがわかる。
(5) の $T \lt T_c$ のときのグラフからわかるように、 $T / T_c \to +0$ のとき、 $x_0 \to \infty$ であり、 $m_0 \to 1$ である。
$0 \lt T_c - T \ll T_c$ のとき、 $0 \lt x_0 \ll 1$ であり、 式 ⑧ は \begin{align} \frac{T}{T_c} x_0 \simeq x_0 - \frac{1}{3} x_0^3 \end{align} となり、 $x_0 \gt 0$ を考慮して、 \begin{align} x_0 &\simeq \sqrt{\frac{3(T_c-T)}{T_c}} \\ \therefore \ \ m_0 &\simeq \sqrt{\frac{3(T_c-T)}{T_c}} \end{align} を得る。