内部エネルギーを $U$ 、体積を $\tilde{V}$ 、 圧力を $\tilde{p}$ 、温度を $\tilde{T}$ で表す。
熱力学第1法則より \begin{align} \mathrm{d} q = \mathrm{d} U + \tilde{p} \mathrm{d} \tilde{V} \end{align} であり、さらに $H=U+\tilde{p}\tilde{V}$ から \begin{align} \mathrm{d} H &= \mathrm{d} U + \tilde{p} \mathrm{d} \tilde{V} + \tilde{V} \mathrm{d} \tilde{p} \\ &= \mathrm{d} q + \tilde{V} \mathrm{d} \tilde{p} \end{align} であるが、 $\tilde{p} = p$ (一定) で $\mathrm{d} \tilde{p} = 0$ なので、 \begin{align} \mathrm{d} q = \mathrm{d} H \end{align} がわかる。
(i) $\mathrm{d} U = \tilde{T} \mathrm{d} S - \tilde{p} \mathrm{d} \tilde{V}$ であり、 等温（ $\tilde{T} = T$ (一定)）なので $\mathrm{d} U = 0$ であるから、 $\mathrm{d} S = (\tilde{p}/T) \mathrm{d} \tilde{V}$ である。 体積は $V_1 = RT/p$ から $2V_1$ へ変化する。 よって、 \begin{align} \Delta S &= \int_{V_1}^{2V_1} \frac{\tilde{p}}{T} \mathrm{d} \tilde{V} \\ &= R \int_{V_1}^{2V_1} \frac{\mathrm{d} \tilde{V}}{\tilde{V}} \\ &= R \ln 2 \end{align} である。
(ii) $\mathrm{d} H = \tilde{T} \mathrm{d} S + \tilde{V} \mathrm{d} \tilde{p}$ より、 \begin{align} \Delta H &= T \Delta S + \int_p^{0.5p} \tilde{V} \mathrm{d} \tilde{p} \\ &= T \Delta S + RT \int_p^{0.5p} \frac{\mathrm{d} \tilde{p}}{\tilde{p}} \\ &= RT \ln 2 + RT \ln 0.5 \\ &= 0 \end{align} である。
(i) 断熱準静的過程では、エントロピーは変化しないから \begin{align} \Delta S = 0 \end{align} である。
(ii) 定積モル熱容量は $C = C_{p, \mathrm{m}} - R = 1.5R $ であり、断熱準静的過程では、 \begin{align} C \mathrm{d} \tilde{T} &= - \tilde{p} \mathrm{d} \tilde{V} \\ &= - \frac{R \tilde{T}}{\tilde{V}} \mathrm{d} \tilde{V} \\ \therefore \ \ 1.5 \frac{\mathrm{d} \tilde{T}}{\tilde{T}} + \frac{\mathrm{d} \tilde{V}}{\tilde{V}} &= 0 \\ \therefore \ \ \tilde{T}^{1.5} \tilde{V} &= \text{ 一定 } \tag{2} \end{align} であるから、 \begin{align} T^{1.5} V &= T_\mathrm{f}^{1.5} \cdot 2V \\ \therefore \ \ T_\mathrm{f} &= \left( \frac{1}{2} \right)^\frac{2}{3} T \end{align} である。
(iii) 変化前の圧力 $p_1$ と終状態での圧力 $p_2$ は \begin{align} p_1 &= \frac{RT}{V} , \\ p_2 &= \frac{RT_\mathrm{f}}{2V} = \left( \frac{1}{2} \right)^\frac{5}{3} \frac{RT}{V} = \left( \frac{1}{2} \right)^\frac{5}{3} p_1 \end{align} である。 また、 $\tilde{p} \tilde{V} / \tilde{T} = 一定$ と (2) から \begin{align} \tilde{p}^{1.5} \tilde{V}^{2.5} &= 一定 \\ \therefore \ \ \tilde{p}^\frac{3}{5} \tilde{V} &= 一定 \\ &= p_1^\frac{3}{5} V \end{align} がわかる。 $\mathrm{d} H = \tilde{T} \mathrm{d} S + \tilde{V} \mathrm{d} \tilde{p}$ であるが、断熱準静的過程では $\mathrm{d}S=0$ なので、 \begin{align} \Delta H &= \int_{p_1}^{p_2} \tilde{V} \mathrm{d} \tilde{p} \\ &= p_1^\frac{3}{5} V \int_{p_1}^{p_2} \tilde{p}^{- \frac{3}{5}} \mathrm{d} \tilde{p} \end{align}