大阪大学 大学院
基礎工学研究科 電子光科学
2021年度 電子光科学 I [I-2]

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(1)

$$\begin{align} u(x) = x^2 , \ \ v(x) = x , \ \ w(x) = 1 \end{align}$$

(2)

$$\begin{align} T(u(x)) &= T(x^2) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \\ &= u(x) + 2v(x) + w(x) \\ T(v(x)) &= T(x) = x+1 \\ &= v(x) + w(x) \\ T(w(x)) &= T(1) = 1 \\ &= w(x) \end{align}$$ であるから、 $$\begin{align} \begin{pmatrix} T(u(x)) & T(v(x)) & T(w(x)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u(x) & v(x) & w(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ であり、求める表現行列は、 $$\begin{align} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ である。

(3)

$A$ の固有値は $1$ であり、対応する固有ベクトルは、 $$\begin{align} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ である。