イ. 順序尺度
参考： 東大統計学教室 「統計学入門」 第2章
イ. 最頻値，中央値，平均値
参考： 東大統計学教室 「統計学入門」 第2章
オ. 84%
なぜなら、ほぼ 5/6 であるから。
参考：
東大統計学教室 「統計学入門」
第6章
ウ. 0
なぜなら、プロットすると、y軸に関して対称だから。
参考：
東大統計学教室 「統計学入門」
第3章
ウ. 0.05
なぜなら、 \begin{align} \frac{1}{{}_6 C_3} = \frac{1}{20} = 0.05 \end{align}
ウ. 0.11
なぜなら、 \begin{align} P(Y=1 | X=2) &= \frac{P(X=2 \text{ and } Y=1)}{P(X=2)} \\ &= \frac{0.02}{0.02+0.08+0.03+0.03+0.01+0.01} \\ &= \frac{1}{9} \end{align}
エ. 3/10
なぜなら、 \begin{align} \frac{3}{10} \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \frac{3}{9} = \frac{2+7}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} \end{align}
エ. 1/p + 1/(1-p)
なぜなら、 \begin{align} \frac{d}{dp} \log \frac{p}{1-p} &= \frac{d}{dp} \left( \log p - \log (1-p) \right) \\ &= \frac{1}{p} - \frac{-1}{1-p} \\ &= \frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} \end{align}
エ. $ ( \mu + \sigma^2 t ) \exp \left( \mu t + \sigma^2 t^2 / 2 \right)$
オ. 30
なぜなら、 \begin{align} \int_0^1 x^2 (1-x)^2 dx &= \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6-15+10}{30} = \frac{1}{30} \end{align}
ウ. $ \sqrt{\pi} $
なぜなら、 $ x = \sqrt{t} $ とおくと、 $ x^2 = t, \ 2xdx=dt $ であり、 \begin{align} \int_0^\infty t^{-1/2} e^{-t} dt &= \int_0^\infty x^{-1} e^{-x^2} 2xdx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi} \end{align}
オ. 26
なぜなら、期待値と分散をそれぞれ $E, V$ で表すと、 \begin{align} E(X^2) &= V(X) + E(X)^2 = 9 + 3^2 = 18 \\ E(Y^2) &= V(Y) + E(Y)^2 = 4 + 2^2 = 8 \\ E(X^2+Y^2) &= E(X^2) + E(Y^2) = 18 + 8 = 26 \end{align}
オ. $\exp (-0.3(t_2-t_1))$
なぜなら、 $f(t) = \lambda \exp(- \lambda t)$ とすると、 \begin{align} P(T \gt t) &= 1 - \int_0^t f(s) ds = 1 - \lambda \int_0^t e^{- \lambda s} ds \\ &= 1 + \left[ e^{- \lambda s} \right]_0^t = e^{- \lambda t} \\ \therefore \ \ P(T \gt t_2 | T \gt t_1) &= \frac{P(T \gt t_2)}{P(T \gt t_1)} = \frac{e^{- \lambda t_2}}{e^{- \lambda t_1}} = e^{- \lambda (t_2 - t_1)} \end{align}
オ. $ \left( \bar{X}_n - p \right) / \sqrt{p(1-p)/n} $
オ. 対立仮説 $H_1$ が正しいとき、 帰無仮説 $H_0$ が棄却されない確率は $0.2$ である。
ア. (0.21, 0.39)
オ. 2.67
なぜなら、 \begin{align} \frac{\frac{132}{88}}{\frac{108}{192}} = \frac{132}{88} \cdot \frac{192}{108} = 2.66 \cdots \end{align}
エ. Adjusted R-squared が 0.0007579 なので、 TV により SBP の変動は十分説明されない。
期待値, 分散をそれぞれ $E, V$ で表すと、 \begin{align} E(X) &= \int_{- \infty}^\infty x f(x) dx \\ &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^\infty x e^{- \lambda |x - \mu| } dx \\ &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^\infty (y + \mu) e^{- \lambda |y| } dy \ \ \ \ \ \ \ \ ( y = x - \mu ) \\ &= \mu \\ E(X^2) &= \int_{- \infty}^\infty x^2 f(x) dx \\ &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^\infty x^2 e^{- \lambda |x - \mu| } dx \\ &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^\infty (y^2 + 2 \mu y + \mu^2) e^{- \lambda |y| } dy \ \ \ \ \ \ \ \ ( y = x - \mu ) \\ &= \lambda \int_0^\infty y^2 e^{- \lambda y } dy + \mu^2 \\ \int_0^\infty y^2 e^{- \lambda y } dy &= - \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty y^2 \left( e^{- \lambda y } \right)' dy = - \frac{2}{\lambda} \int_0^\infty y e^{- \lambda y } dy \\ &= \frac{2}{\lambda^2} \int_0^\infty y \left( e^{- \lambda y } \right)' dy = \frac{2}{\lambda^2} \int_0^\infty e^{- \lambda y } dy \\ &= - \frac{2}{\lambda^3} \left[ e^{- \lambda y } \right]_0^\infty = \frac{2}{\lambda^3} \\ E(X^2) &= \lambda \cdot \frac{2}{\lambda^3} + \mu^2 = \frac{2}{\lambda^2} + \mu^2 \\ V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 = \frac{2}{\lambda^2} + \mu^2 - \mu^2 = \frac{2}{\lambda^2} \end{align}
(i) $ x \leq \mu $ のとき、 \begin{align} F(x) &= \frac{\lambda}{2} \int_{- \infty}^x e^{ \lambda (z - \mu) } dz = \frac{1}{2} \left[ e^{ \lambda (z - \mu) } \right]_{- \infty}^x = \frac{1}{2} e^{ \lambda (x - \mu) } \end{align}
(ii) $ x \geq \mu $ のとき、 \begin{align} F(x) &= \frac{1}{2} + \frac{\lambda}{2} \int_\mu^x e^{ - \lambda (z - \mu) } dz = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left[ e^{ - \lambda (z - \mu) } \right]_\mu^x = 1 - \frac{1}{2} e^{ - \lambda (x - \mu) } \end{align}
求める $x$ の値を $x_0 (\gt \mu)$ とすると、 \begin{align} F(x_0) = 1 - \frac{1}{2} e^{ - \lambda (x_0 - \mu) } = 1 - \alpha \end{align} よって、 \begin{align} e^{ - \lambda (x_0 - \mu) } &= 2 \alpha \\ - \lambda (x_0 - \mu) &= \log 2 \alpha \\ \therefore \ \ x_0 &= \mu - \frac{\log 2 \alpha}{\lambda} \end{align}
\begin{align} x \gt - \frac{\log 2 \alpha}{\lambda} \end{align}
次のようにおく： \begin{align} x_1 = - \frac{\log 2 \alpha}{\lambda} \end{align} このとき、 \begin{align} e^{\lambda x_1} = \frac{1}{2 \alpha} , \ \ \ \ e^{- \lambda x_1} = 2 \alpha \end{align} である。
(i) $ \mu \geq x_1 $ のとき、 \begin{align} \beta_\lambda (\mu) &= \frac{1}{2} + \frac{\lambda}{2} \int_{x_1}^\mu e^{\lambda (x-\mu)} dx \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left[ e^{\lambda (x-\mu)} \right]_{x_1}^\mu \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( 1 - e^{\lambda (x_1-\mu)} \right) \\ &= 1 - \frac{1}{2} e^{\lambda (x_1-\mu)} \\ &= 1 - \frac{e^{- \lambda \mu}}{4 \alpha} \end{align}
(ii) $ 0 \lt \mu \leq x_1 $ のとき、 \begin{align} \beta_\lambda (\mu) &= \frac{\lambda}{2} \int_{x_1}^\infty e^{- \lambda (x-\mu)} dx \\ &= - \frac{1}{2} \left[ e^{- \lambda (x-\mu)} \right]_{x_1}^\infty \\ &= \frac{1}{2} e^{- \lambda (x_1-\mu)} \\ &= \alpha e^{\lambda \mu} \end{align}