\begin{align} E[X_1] &= \int_{- \infty}^\infty x f(x; \gamma) dx \\ &= \frac{1}{\gamma} \int_0^\infty x e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \int_0^\infty x \left( e^{- x / \gamma } \right)' dx \\ &= - \left[ x e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \gamma \left[ e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty \\ &= \gamma \end{align}
$x \gt 0$ のときは、 \begin{align} P \left( X_{(1)} \leq x \right) &= 1 - P \left( X_{(1)} \gt x \right) \\ &= 1 - P \left( X_1 \gt x \text{ and } X_2 \gt x \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \gt x \right) \\ &= 1 - P ( X_1 \gt x ) P ( X_2 \gt x ) \cdots P ( X_n \gt x ) \\ &= 1 - \left( \frac{1}{\gamma} \int_x^\infty e^{ - y / \gamma } dy \right)^n \\ &= 1 - \left( - \left[ e^{ - y / \gamma } \right]_x^\infty \right)^n \\ &= 1 - \left( e^{ - x / \gamma } \right)^n \\ &= 1 - e^{ - nx / \gamma } \end{align} であるから、 \begin{align} f_{(1)}(x; \gamma) &= \frac{d}{dx} \left( 1 - e^{ - nx / \gamma } \right) \\ &= \frac{n}{\gamma} e^{ - nx / \gamma } \end{align} がわかる。 $x \leq 0$ のときは $f_{(1)}(x; \gamma) = 0$ である。
また、(2-1) と同様の計算をすることにより、 \begin{align} E[X_{(1)}] &= \frac{\gamma}{n} \end{align} がわかる。
\begin{align} E \left[ X_1^2 \right] &= \int_{- \infty}^\infty x^2 f(x; \gamma) dx \\ &= \frac{1}{\gamma} \int_0^\infty x^2 e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \left[ x^2 e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty + 2 \int_0^\infty x e^{- x / \gamma } dx \\ &= 2 \gamma E \left[ X_1 \right] \\ &= 2 \gamma^2 \\ E \left[ X_1^3 \right] &= \int_{- \infty}^\infty x^3 f(x; \gamma) dx \\ &= \frac{1}{\gamma} \int_0^\infty x^3 e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \left[ x^3 e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty + 3 \int_0^\infty x^2 e^{- x / \gamma } dx \\ &= 3 \gamma E \left[ X_1^2 \right] \\ &= 6 \gamma^3 \\ E \left[ \left( X_1 - E[X_1] \right)^2 \right] &= E \left[ X_1^2 \right] - E \left[ X_1 \right]^2 \\ &= \gamma^2 \\ E \left[ \left( X_1 - E[X_1] \right)^3 \right] &= E \left[ X_1^3 \right] - 3 E \left[ X_1^2 \right] E \left[ X_1 \right] + 2 E \left[ X_1 \right]^3 \\ &= 2 \gamma^3 \end{align} であるから、 $X_1$ の歪度は \begin{align} \frac{2 \gamma^3}{\left( \gamma^2 \right)^{3/2}} = 2 \end{align} である。
$X_{(1)}$ については、 上の計算の $\gamma$ を $\gamma/n$ を置き換えればいいので、 歪度は同じく $2$ であることがわかる。
\begin{align} T_n &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=2}^n X_{(i)} \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_{(i)} - \frac{1}{n-1} X_{(1)} \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n-1} X_{(1)} \\ \therefore \ \ E[T_n] &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n E[X_i] - \frac{1}{n-1} E[X_{(1)}] \\ &= \frac{n \gamma}{n-1} - \frac{\gamma}{n(n-1)} \\ &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \gamma \\ \therefore \ \ E[T_n] - \gamma &= \frac{\gamma}{n} \end{align}