$X$ の累積分布関数を $F_X(x)$ とすると、 $x \leq 0$ のときは $F_X(x)=0$ であり、 $x \gt 0$ のときは \begin{align} F_X(x) &= \int_0^x p_X(t) dt \\ &= \lambda \int_0^x e^{- \lambda t} dt \\ &= - \left[ e^{- \lambda t} \right]_0^x \\ &= 1 - e^{- \lambda t} \end{align} である。
$X$ の期待値を $E_X$ , 中央値を $M_X$ とすると、 \begin{align} E_X &= \int_0^\infty x p_X(x) dx \\ &= \lambda \int_0^\infty x e^{- \lambda x} dx \\ &= - \left[ x e^{- \lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{- \lambda x} dx \\ &= - \frac{1}{\lambda} \left[ e^{- \lambda x} \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{\lambda} \end{align} であり、 \begin{align} \frac{1}{2} &= F_X(M_X) \\ &= 1 - e^{- \lambda M_X} \\ \therefore \ \ e^{- \lambda M_X} &= \frac{1}{2} \\ \therefore \ \ - \lambda M_X &= - \log 2 \\ \therefore \ \ M_X &= \frac{\log 2}{\lambda} \end{align} である。
$1 \lt 2 \lt e$ より $0 \lt \log 2 \lt 1$ であるから、 $M_X \lt E_X$ がわかる。
\begin{align} 1 &= \int_0^\infty p_Y(y) dy \\ &= c(\lambda) \int_0^\infty y e^{- \lambda y} dy \\ &= \frac{c(\lambda)}{\lambda^2} \end{align} より、 \begin{align} c(\lambda) = \lambda^2 \end{align} がわかる。
\begin{align} \mathrm{Pr} \left( X \leq Y \right) &= \int_0^\infty p_Y(y) F_X(y) dy \\ &= \lambda^2 \int_0^\infty y e^{- \lambda y} \left( 1 - e^{- \lambda y} \right) dy \\ &= \lambda^2 \int_0^\infty \left( y e^{- \lambda y} - y e^{- 2 \lambda y} \right) dy \\ &= \cdots \\ &= \frac{3}{4} \end{align}