$x$ 軸方向の運動方程式 \begin{align} m \frac{dv_x}{dt} = - kv_x \end{align} の一般解は \begin{align} v_x(t) &= C \exp \left( -\frac{kt}{m} \right) &( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} であるが、初期条件 $v_x(0)=v_0$ を考慮して、求める解は \begin{align} v_x(t) &= v_0 \exp \left( -\frac{kt}{m} \right) \tag{A} \end{align} であることがわかる。
初期条件 $x(0)=0$ を考慮して、(1) で求めた式 (A) を積分して、 \begin{align} x(t) &= x(0) + \int_0^t v_x(s) ds \\ &= v_0 \int_0^t \exp \left( -\frac{ks}{m} \right) ds \\ &= - \frac{mv_0}{k} \left[ \exp \left( -\frac{ks}{m} \right) \right]_0^t \\ &= \frac{mv_0}{k} \left( 1 - \exp \left( -\frac{kt}{m} \right) \right) \end{align} を得る。
$y$ 軸方向の運動方程式 \begin{align} m \frac{dv_y}{dt} = mg - kv_y \end{align} の一般解は \begin{align} v_y(t) &= \frac{mg}{k} + C \exp \left( -\frac{kt}{m} \right) &( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} であるが、初期条件 $v_y(0)=0$ を考慮して、 \begin{align} v_y(t) &= \frac{mg}{k} - \frac{mg}{k} \exp \left( -\frac{kt}{m} \right) \end{align} となる。