時刻 $t+1$ に A にいるということは、 時刻 $t$ に A にいて A にとどまったか、 時刻 $t$ に B にいて A に移動したか、なので \begin{align} x_{t+1} &= x_t(1-p_{AB}) + (1-x_t)p_{BA} \\ &= x_t(1-p_{AB}-p_{BA}) + p_{BA} \end{align} である。 ここで、 $x_{t+1}=x_t=x$ とおいて、 \begin{align} x &= x(1-p_{AB}-p_{BA}) + p_{BA} \\ (p_{AB} + p_{BA}) x &= p_{BA} \\ \therefore \ \ x &= \frac{p_{BA}}{p_{AB} + p_{BA}} \end{align} を得る。
(1) より、 \begin{align} x_{t+1} - x &= (x_t-x)(1-p_{AB}-p_{BA}) \\ \therefore \ \ x_t - x &= (x_0-x)(1-p_{AB}-p_{BA})^t \\ \therefore \ \ x_t &= x + (x_0-x)(1-p_{AB}-p_{BA})^t \\ &= \frac{p_{BA}}{p_{AB} + p_{BA}} + \left( x_0 - \frac{p_{BA}}{p_{AB} + p_{BA}} \right) (1-p_{AB}-p_{BA})^t \end{align} を得る。