棒の質量の線密度は $m/(2L)$ なので、次のように計算できる： \begin{align} I &= \frac{m}{2L} \int_{-L+l}^{L+l} \xi^2 \ d \xi \\ &= \frac{m}{2L} \left[ \frac{\xi^3}{3} \right]_{-L+l}^{L+l} \\ &= \frac{m}{6L} \left( (L+l)^3 - (-L+l)^3 \right) \\ &= \frac{m}{6L} \left( 2L^3 + 6Ll^2 \right) \\ &= \frac{1}{3} mL^2 + ml^2 \end{align}
$\theta = 0$ での棒の角速度の大きさを $\alpha$ とすると、エネルギー保存則より \begin{align} \frac{1}{2} I \alpha^2 - mgl &= - \frac{1}{2} mgl \\ \frac{1}{2} I \alpha^2 &= \frac{1}{2} mgl \\ \alpha^2 &= \frac{mgl}{I} \\ &= \frac{3gl}{L^2 + 3l^2} \end{align} であるから、求める速さは \begin{align} l \alpha = l \sqrt{ \frac{3gl}{L^2 + 3l^2} } \end{align} である。
O の周りの力のモーメントは $-mg \sin \theta \approx -mg \theta$ であるから、 運動方程式より、 \begin{align} I \ddot{\theta} &= -mg \theta \\ \therefore \ \ \ddot{\theta} &= - \frac{mg}{I} \theta \\ &= - \frac{3gl}{L^2 + 3l^2} \theta \end{align} を得る。
微小振動の角振動数を $\omega$ とすると、(3) より \begin{align} \omega^2 = \frac{3gl}{L^2 + 3l^2} \end{align} であり、 \begin{align} \frac{\partial}{\partial l} \omega^2 &= 3g \frac{(L^2 + 3l^2) - 6l^2}{(L^2 + 3l^2)^2} \\ &= 3g \frac{L^2 - 3l^2}{(L^2 + 3l^2)^2} \end{align} であるから、求める $l$ は \begin{align} l = \frac{L}{\sqrt{3}} \end{align} であることがわかる。