東京大学 大学院 新領域創成科学研究科
海洋技術環境学専攻
2024年度 第6問




(1)

$dV/dZ$ は $Z$ に反比例するので、適当な定数 $a \ (\ne 0)$ を使って \begin{align} \frac{dV}{dZ} = \frac{a}{Z} \end{align} と書け、積分すると \begin{align} V &= a \ln \frac{Z}{Z_0} &\left( Z_0 \text{ は積分定数 }, \ \ \ln \text{ は自然対数 } \right) \\ &= b \log_2 \frac{Z}{Z_0} &\left( b = \frac{a}{\log_2 e}, \ \ e \text{ は自然対数の底 } \right) \end{align} となる。 $Z=0.125$ のとき $V=0$ であることから \begin{align} 0 &= b \log_2 \frac{0.125}{Z_0} \\ \therefore \ \ Z_0 &= 0.125 = \frac{1}{8} \end{align} がわかる。よって、 \begin{align} V &= b \log_2 (8Z) \\ &= b \left( \log_2 Z + 3 \right) \end{align} である。 さらに、 $Z=8$ のとき $V=6$ であることから \begin{align} 6 &= b \left( \log_2 8 + 3 \right) \\ \therefore \ \ b &= 1 \end{align} がわかる。よって、 \begin{align} V &= \log_2 Z + 3 \end{align} である。 したがって、 $Z=128$ のとき \begin{align} V &= \log_2 128 + 3 \\ &= 10 \end{align} である。


(2)

$Z=32$ のとき \begin{align} V &= \log_2 32 + 3 \\ &= 8 \end{align} である。 よって、高度 $Z=128$ を通過する海上風のパワーは、高度 $Z=32$ の場合と比べ、 \begin{align} \frac{10^3}{8^3} = \frac{125}{64} \end{align} 倍である。