$C$ が囲む領域を $D$ とすると、グリーンの定理より、 \begin{align} I &= \oint_C \left[ \left( -y + e^x \right) dx + \left( \sin y + x \right) dy \right] \\ &= \int_D \left[ \frac{\partial \left( \sin y + x \right)}{\partial x} - \frac{\partial \left( -y + e^x \right)}{\partial y} \right] dx dy \\ &= 2 \int_D dx dy \\ &= 2 \pi r^2 \end{align} がわかる。