まず、ユークリッドの互除法により、 $97$ と $41$ の最小公倍数を求めると、 \begin{align} 97 &= 41 \cdot 2 + 15 \\ 41 &= 15 \cdot 2 + 11 \\ 15 &= 11 \cdot 1 + 4 \\ 11 &= 4 \cdot 2 + 3 \\ 4 &= 3 \cdot 1 + 1 \end{align} であるから、$97$ と $41$ の最小公倍数は $1$ である。 この計算を逆にたどると、 \begin{align} 1 &= 4 - 3 \cdot 1 \\ &= 4 - (11 - 4 \cdot 2) \cdot 1 \\ &= 4 \cdot 3 - 11 \\ &= (15 - 11 \cdot 1) \cdot 3 - 11 \\ &= 15 \cdot 3 - 11 \cdot 4 \\ &= 15 \cdot 3 - (41 - 15 \cdot 2) \cdot 4 \\ &= 15 \cdot 11 - 41 \cdot 4 \\ &= (97 - 41 \cdot 2) \cdot 11 - 41 \cdot 4 \\ &= 97 \cdot 11 - 41 \cdot 26 \end{align} となるので、 \begin{align} 97 \cdot 11 + 41 \cdot (-26) = 1 \\ \therefore \ \ 97 \cdot 44 + 41 \cdot (-104) = 4 \end{align} であり、 $(x, y)=(44, -104)$ が求める解であることがわかる。
与えられた方程式の一般解は、整数 $n$ を使って、 \begin{align} x = 44 + 41n, \ \ y = - 104 - 97n \end{align} と書ける。 このとき、 \begin{align} J &= \left| x + y + 40 \right| \\ &= 4 \left| 14n + 5 \right| \end{align} であり、これが最小になるのは $n=0, -1$ のどちらかである。 $n=0$ のとき $J=20$ であり、 $n=-1$ のとき $J=36$ であるから、 $J$ が最小になるのは $n=0$ のときである。 よって、 $(x, y)=(44, -104)$ のとき最小値 $20$ となる。