時間に依存しないシュレディンガー方程式 \begin{align} - \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) \Psi (x,y,z) = E \Psi (x,y,z) \end{align} の固有波動関数 $\Psi(x,y,z)$ は変数分離の方法により、 \begin{align} \Psi (x,y,z) = C \exp \left[i (k_x x + k_y y + k_z z) \right] \end{align} であり、対応する一粒子固有エネルギーは \begin{align} E = \frac{\hbar^2}{2m} \left( k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \right) \end{align} であることがわかる。 ただし、与えられた周期的境界条件により、 \begin{align} k_x &= \frac{2 \pi n_x}{L} \ \ \ \ (n_x = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \\ k_y &= \frac{2 \pi n_y}{L} \ \ \ \ (n_y = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \\ k_z &= \frac{2 \pi n_z}{L} \ \ \ \ (n_z = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \end{align} である。 また、 $C=(1/L)^{3/2}$ とすれば、 \begin{align} \int_0^L dx \int_0^L dy \int_0^L dz \ | \Psi(x,y,z) |^2 = 1 \end{align} が成り立つ。
$E_i - \mu \gt 0$ のとき、 $0 \lt \exp (- (E_i - \mu)/(k_B T)) \lt 1$ であるから、 次のように計算できる： \begin{align} \Xi_i &= \sum_{n_i=0}^\infty \exp \left[ - \frac{(E_i-\mu)n_i}{k_BT} \right] \\ &= \frac{1}{1 - \exp \left( - \frac{E_i-\mu}{k_BT} \right) } \\ f(E_i, \mu) &= \frac{1}{\Xi_i} \sum_{n_i=0}^\infty n_i \exp \left[ - \frac{(E_i-\mu)n_i}{k_BT} \right] \\ &= \frac{1}{\Xi_i} \cdot k_BT \frac{\partial}{\partial \mu} \sum_{n_i=0}^\infty \exp \left[ - \frac{(E_i-\mu)n_i}{k_BT} \right] \\ &= \frac{1}{\Xi_i} \cdot k_BT \frac{\partial \Xi_i}{\partial \mu} \\ &= k_BT \frac{\partial}{\partial \mu} \log \Xi_i \\ &= -k_BT \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left[ 1 - \exp \left( - \frac{E_i-\mu}{k_BT} \right) \right] \\ &= -k_BT \frac{ - \exp \left( - \frac{E_i-\mu}{k_BT} \right) \frac{1}{k_BT} }{ 1 - \exp \left( - \frac{E_i-\mu}{k_BT} \right) } \\ &= \frac{ \exp \left( - \frac{E_i-\mu}{k_BT} \right) } { 1 - \exp \left( - \frac{E_i-\mu}{k_BT} \right) } \\ &= \frac{1}{ \exp \left( \frac{E_i-\mu}{k_BT} \right) - 1 } \end{align}