東京大学 大学院 総合文化研究科
広域科学専攻 相関基礎科学系
2020年度 総合科目

第2問 物理学 (1)

I

(1)

$x \lt 0$ のとき、与えられた方程式は、 \begin{align} - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x) \end{align} となるから、これに $\psi(x)=Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}$ を代入して、 次を得る： \begin{align} \frac{\hbar^2 k_1^2}{2m} = E , \ \ \therefore \ \ k_1 = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \end{align}

$x \gt 0$ のとき、与えられた方程式は、 \begin{align} - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = (E-V_0) \psi(x) \end{align} となるから、これに $\psi(x)=Ce^{ik_2x}$ を代入して、 次を得る： \begin{align} \frac{\hbar^2 k_2^2}{2m} = E-V_0 , \ \ \therefore \ \ k_2 = \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar} \end{align}

(2)

$x=0$ において、 $\psi(x), d \psi(x) / dx$ は連続であるから、 \begin{align} A+B=C , \ \ ik_1(A-B)=ik_2C \end{align} が成り立つ。 $B$ を消去して $C$ について解くと、次を得る： \begin{align} C = \frac{2k_1}{k_1+k_2} A \end{align}

(3)

(2) より、 \begin{align} B = \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2} A \end{align} である。 よって、 \begin{align} k_2 |C|^2 &= k_2 \frac{4k_1^2}{(k_1+k_2)^2} |A|^2 \end{align}