東京工業大学 大学院
環境・社会理工学院 融合理工学系
2022年度 午後 問題B [問題1]

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1.

(1)

$f(t)=e^{\lambda t}$ を与えられた微分方程式に代入すると、 $$\begin{align} \lambda^2 - 4 \lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0 \end{align}$$ となるので、一般解は、積分定数を $C_1, C_2$ として、 $$\begin{align} f(t) = (C_1 + C_2 t) e^{2t} \end{align}$$ である。 初期条件を満たすためには、 $C_1=3, C_2=-2$ とすればよく、 $$\begin{align} f(t) = (3 - 2t) e^{2t} \end{align}$$ が求める解である。

(2)

与えられた微分方程式を斉次にした $f''(t)-4f'(t)+3f(t)=0$ の一般解は、積分定数を $C_1, C_2$ として、 $$\begin{align} f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t} \end{align}$$ である。 また、 $f(t)=Ate^t$ を与えられた微分方程式に代入すると $A = -1/2$ を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、 $$\begin{align} f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t \end{align}$$ である。 初期条件を満たすためには、 $C_1=-7/4, C_2=7/4$ とすればよく、 $$\begin{align} f(t) = -\frac{7}{4} e^t + \frac{7}{4} e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t \end{align}$$ が求める解である。

(3)

与えられた微分方程式を斉次にした $f''(t)+3f'(t)+2f(t)=0$ の一般解は、積分定数を $C_1, C_2$ として、 $$\begin{align} f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} \end{align}$$ である。 また、 $f(t)=At^2+Bt+C$ を与えられた微分方程式に代入すると $A=4,B=-12,C=14$ を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、 $$\begin{align} f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14 \end{align}$$ である。 初期条件を満たすためには、 $C_1=-16, C_2=2$ とすればよく、 $$\begin{align} f(t) = -16 e^{-t} + 2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14 \end{align}$$ が求める解である。