\begin{align} [A]_0 = [A] + [B] + [C] \end{align}
1次反応であるから、 \begin{align} \frac{d}{dt} [A] = - k_a [A] \end{align} である。
各ステップが1次反応であるから、 \begin{align} \frac{d}{dt} [B] = k_a [A] - k_b [B] \end{align} である。
問題文から、 $k_a \ne k_b$ を暗に仮定していることが読み取れる。
2) で得た微分方程式より、初期条件を考慮して、 \begin{align} [A] = [A]_0 e^{-k_a t} \end{align} である。 したがって、 3) で得た微分方程式より、 \begin{align} \frac{d}{dt} [B] &= k_a [A]_0 e^{-k_a t} - k_b [B] \\ \frac{d}{dt} [B] + k_b [B] &= k_a [A]_0 e^{-k_a t} \\ e^{k_b t} \frac{d}{dt} [B] + k_b e^{k_b t} [B] &= k_a [A]_0 e^{(k_b-k_a) t} \\ \frac{d}{dt} \left( e^{k_b t} [B] \right) &= k_a [A]_0 e^{(k_b-k_a) t} \\ e^{k_b t} [B] &= k_a [A]_0 \int e^{(k_b-k_a) t} dt \\ e^{k_b t} [B] &= \frac{k_a}{k_b-k_a} [A]_0 e^{(k_b-k_a) t} + D &\left( D \text{ は積分定数 } \right) \end{align} となるが、 $t=0$ のとき $[B]=0$ なので、 \begin{align} 0 &= \frac{k_a}{k_b-k_a} [A]_0 + D \\ \therefore \ \ D &= - \frac{k_a}{k_b-k_a} [A]_0 \end{align} であり、 \begin{align} e^{k_b t} [B] &= \frac{k_a}{k_b-k_a} [A]_0 \left( e^{(k_b-k_a) t} - 1 \right) \\ \therefore \ \ [B] &= \frac{k_a}{k_b-k_a} [A]_0 \left( e^{-k_a t} - e^{-k_b t} \right) \end{align} がわかる。 よって、 1) より、 \begin{align} [C] &= [A]_0 - [A] - [B] \\ &= [A]_0 - [A]_0 e^{-k_a t} - \frac{k_a}{k_b-k_a} [A]_0 \left( e^{-k_a t} - e^{-k_b t} \right) \\ &= \left\{ 1 + \frac{k_a e^{-k_b t} - k_b e^{-k_a t}}{k_b-k_a} \right\} [A]_0 \end{align} となるので、 (ア) に該当するのは \begin{align} k_a e^{-k_b t} - k_b e^{-k_a t} \end{align} である。
4) で得た \begin{align} [B] &= \frac{k_a}{k_b-k_a} \left( e^{-k_a t} - e^{-k_b t} \right) [A]_0 \end{align} より、 \begin{align} \frac{d}{dt} [B] &= \frac{k_a}{k_b-k_a} \left( -k_a e^{-k_a t} + k_b e^{-k_b t} \right) [A]_0 \end{align} であるから、 $d[B]/dt=0$ となる $t$ は \begin{align} k_a e^{-k_a t} &= k_b e^{-k_b t} \\ e^{(k_b-k_a) t} &= \frac{k_b}{k_a} \\ (k_b-k_a) t &= \ln \frac{k_b}{k_a} \\ \therefore \ \ t &= \frac{1}{k_b-k_a} \ln \frac{k_b}{k_a} \end{align} である。 よって、増減表は \begin{array} {|c|ccccc|} \hline t & 0 & \cdots & \frac{1}{k_b-k_a} \ln \frac{k_b}{k_a} & \cdots & \\ \hline d[B]/dt & & + & 0 & – & & \\ \hline [B] & 0 & \nearrow & & \searrow & 0 \\ \hline \end{array} となるから、 \begin{align} t_\text{max} &= \frac{1}{k_b-k_a} \ln \frac{k_b}{k_a} \end{align} を得る。
※ ちなみに、 \begin{align} \lim_{k_b \to k_a} t_\text{max} &= \frac{1}{k_a} \end{align} である。