式 (a) から、 \begin{align} \frac{dN(t)}{N(t)} &= - \lambda d t \\ \therefore \ \ \ln N(t) &= - \lambda t + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} であるが、 $t=0$ とすると \begin{align} \ln N(0) &= C \end{align} となり、結局、 \begin{align} \ln N(t) &= - \lambda t + \ln N(0) \\ \therefore \ \ N(t) &= e^{- \lambda t + \ln N(0)} \\ &= N(0) e^{- \lambda t} \tag{b} \end{align} を得る。
半減期を $T$ とすると \begin{align} N(T) = \frac{N(0)}{2} \end{align} であるから、式 (b) で $t=T$ とすると \begin{align} \frac{N(0)}{2} &= N(0) e^{- \lambda T} \\ - \lambda T &= - \ln 2 \\ \therefore \ \ T &= \frac{\ln 2}{\lambda} \\ &\approx 5730 \text{ (年) } \end{align} を得る。
求める年数を $S$ とすると \begin{align} N(S) = \left( \frac{1}{2} \right)^{10} N(0) \end{align} であるから、式 (b) で $t=S$ とすると \begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} N(0) &= N(0) e^{- \lambda S} \\ - \lambda S &= - 10 \ln 2 \\ \therefore \ \ S &= \frac{10 \ln 2}{\lambda} \\ &\approx 5.73 \times 10^4 \text{ (年) } \end{align} を得る。