\begin{align} F(t) &= \int_0^t f(x) dx - b \int_t^1 f(x) dx \end{align} とおいて、 $F(a)=0$ となる $a \in [0,1]$ が存在することを言えば良い。
$x \in [0,1]$ において $f(x)$ は連続関数であることから、 $t \in [0,1]$ において \begin{align} \int_0^t f(x) dx, \int_t^1 f(x) dx \end{align} はともに $t$ の連続関数であり $F(t)$ も連続関数である。 さらに、 \begin{align} F(0) &= -b \int_0^1 f(x) dx \leq 0 & \left( \because b \gt 0, \ f(x) \geq 0 \text{ for } x \in [0,1] \right) \\ F(1) &= \int_0^1 f(x) dx \geq 0 & \left( \because f(x) \geq 0 \text{ for } x \in [0,1] \right) \end{align} であるから、中間値の定理により、 $F(a)=0$ を満たす $a \in [0,1]$ が存在する。 （任意の $x \in [0,1]$ について $f(x)=0$ のときは、 任意の $t \in [0,1]$ について $F(t)=0$ であり、自明である。）
\begin{align} \int_0^a \frac{1}{x^2+1} dx &= 2 \int_a^1 \frac{1}{x^2+1} dx \\ 3 \int_0^a \frac{1}{x^2+1} dx &= 2 \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx \\ 3 \left[ \arctan x \right]_0^a &= 2 \left[ \arctan x \right]_0^1 \\ 3 \arctan a &= \frac{\pi}{2} \\ \arctan a &= \frac{\pi}{6} \\ \therefore \ \ a &= \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align}