\begin{align} T \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 2+3x & (2+3x)^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2+3x & 4+12x+9x^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 12 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{align} なので、 \begin{align} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 12 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{align} である。
$A$ は上三角行列なので、その固有値は対角成分 $1, 3, 9$ である。
線形変換の固有値はその表現行列の固有値に等しいので、 $T$ の固有値も $1, 3, 9$ である。