$g(z)=0$ とすると、 \begin{align} e^z &= -1 \\ &= e^{\pi i} \\ \therefore \ \ z &= \pi i + 2n \pi i & \left( n \text{ は整数 } \right) \\ &= (2n+1) \pi i & \left( n \text{ は整数 } \right) \end{align} を得る。
$C$ の内側にある $f(z)/g(z)$ の特異点は $z=\pi i$ (1位の極) のみであり、 このときの留数は \begin{align} s &= \lim_{z \to \pi i} \left( z - \pi i \right) \frac{f(z)}{g(z)} \\ &= \lim_{z \to \pi i} \frac{f(z)}{\frac{g(z)-g(\pi i)}{z - \pi i}} \\ &= \frac{f(\pi i)}{g'(\pi i)} \\ &= \frac{e^{(\pi/4)i}}{e^{\pi i}} \\ &= - \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{align} である。 よって、留数定理より \begin{align} \int_C \frac{f(z)}{g(z)} dz &= 2 \pi i \cdot s \\ &= \sqrt{2} \pi (1-i) \end{align} を得る。
$C_2$ 上において、 \begin{align} z = R + yi \ \ \ \ (0 \leq y \leq 2 \pi) \end{align} と表せるので、 \begin{align} \left| f(z) \right| &= \left| e^{R/4} e^{yi/4} \right| \\ &= e^{R/4} ,\\ \left| g(z) \right| &= \left| e^z + 1 \right| \\ &\geq \left| e^z \right| - 1 \\ &= e^R - 1 , &\left( \gt 0, \ \ \because R \gt 0 \right) \\ \left| \frac{f(z)}{g(z)} \right| &\leq \frac{e^{R/4}}{e^R - 1} \\ &= \frac{e^{-3R/4}}{1 - e^{-R}} \end{align} であり、 \begin{align} \left| \int_{C_2} \frac{f(z)}{g(z)} dz \right| &\leq 2 \pi \left| \frac{f(z)}{g(z)} \right| \\ &\leq 2 \pi \frac{e^{-3R/4}}{1 - e^{-R}} \to 0 \ \ \ \ (R \to \infty) \end{align} となるので、 \begin{align} \lim_{R \to \infty} \int_{C_2} \frac{f(z)}{g(z)} dz &= 0 \end{align} がわかる。
$C_4$ 上において、 \begin{align} z = -R + yi \ \ \ \ (0 \leq y \leq 2 \pi) \end{align} と表せるので、 \begin{align} \left| f(z) \right| &= \left| e^{-R/4} e^{yi/4} \right| \\ &= e^{-R/4} ,\\ \left| g(z) \right| &= \left| e^z + 1 \right| \\ &\geq 1 - \left| e^z \right| \\ &= 1 - e^{-R} , &\left( \gt 0, \ \ \because R \gt 0 \right) \\ \left| \frac{f(z)}{g(z)} \right| &\leq \frac{e^{-R/4}}{1 - e^{-R}} \end{align} であり、 \begin{align} \left| \int_{C_4} \frac{f(z)}{g(z)} dz \right| &\leq 2 \pi \left| \frac{f(z)}{g(z)} \right| \\ &\leq 2 \pi \frac{e^{-R/4}}{1 - e^{-R}} \to 0 \ \ \ \ (R \to \infty) \end{align} となるので、 \begin{align} \lim_{R \to \infty} \int_{C_4} \frac{f(z)}{g(z)} dz &= 0 \end{align} がわかる。
\begin{align} I_R = \int_{-R}^R \frac{e^{x/4}}{e^x+1} dx \end{align} とおくと、求める積分 $I$ は \begin{align} I = \lim_{R \to \infty} I_R \end{align} と表せる。
まず、 \begin{align} \int_{C_1} \frac{f(z)}{g(z)} dz = I_R \end{align} である。 次に、 $C_3$ 上において $z = x + 2 \pi i \ \ \ \ (-R \leq y \leq R)$ と表せるので、 \begin{align} \int_{C_3} \frac{f(z)}{g(z)} dz &= \int_R^{-R} \frac{e^{(x+2 \pi i)/4}}{e^{x+2 \pi i} + 1} dx \\ &= -i \int_{-R}^R \frac{e^{x/4}}{e^x + 1} dx \\ &= -i I_R \end{align} である。
よって、 (2) より \begin{align} (1-i) I_R + \int_{C_2} \frac{f(z)}{g(z)} dz + \int_{C_4} \frac{f(z)}{g(z)} dz &= \sqrt{2} \pi (1-i) \end{align} がわかる。 ここで $R \to \infty$ とすると、 (3) より \begin{align} (1-i) I &= \sqrt{2} \pi (1-i) \end{align} となり、 \begin{align} I &= \sqrt{2} \pi \end{align} を得る。