\begin{align} W(x) &= y_1(x) y'_2(x) - y'_1(x) y_2(x) \end{align} であるから、 \begin{align} W'(x) &= y'_1(x) y'_2(x) + y_1(x) y''_2(x) - y''_1(x) y_2(x) - y'_1(x) y'_2(x) \\ &= y_1(x) y''_2(x) - y''_1(x) y_2(x) \\ &= y_1(x) \left[ -a(x)y'_2(x) - b(x)y_2(x) \right] - \left[ -a(x)y'_1(x) - b(x)y_1(x) \right] y_2(x) \\ &= -a(x) \left[ y_1(x) y'_2(x) - y'_1(x) y_2(x) \right] \\ &= -a(x) W(x) \end{align} がわかる。
(i) $W'(x)=-a(x)W(x), a(x) = - (3x+4)/(3x+1)$ から、 \begin{align} W'(x) &= \frac{3x+4}{3x+1} W(x) \\ \frac{dW}{W} &= \left( \frac{3}{3x+1} + 1 \right) dx \\ \log |W(x)| &= \log (3x+1) + x + C_0 & \left( C_0 \text{ は積分定数 } \right) \\ W(x) &= C_1 e^{\log (3x+1) + x} & \left( C_1 \text{ は積分定数 } \right) \\ &= C_1 (3x+1)e^x \end{align} がわかり、 \begin{align} C_1 &= W(0) \\ &= y_1(0) y'_2(0) - y'_1(0) y_2(0) \\ &= 1 \end{align} であるから、 \begin{align} W(x) &= (3x+1)e^x \end{align} を得る。
(ii) さらに、 \begin{align} y_1(x) y'_2(x) - y'_1(x) y_2(x) &= (3x+1)e^x \\ e^{-x} y'_2(x) + e^{-x} y_2(x) &= (3x+1)e^x \\ e^x y'_2(x) + e^x y_2(x) &= (3x+1)e^{3x} \\ \frac{d}{dx} \left[ e^x y_2(x) \right] &= (3x+1)e^{3x} \\ e^x y_2(x) &= \int (3x+1)e^{3x} dx \\ &= \frac{1}{3} (3x+1)e^{3x} - \int e^{3x} dx \\ &= \frac{1}{3} (3x+1)e^{3x} - \frac{1}{3} e^{3x} + C_2 & \left( C_2 \text{ は積分定数 } \right) \\ &= xe^{3x} + C_2 \end{align} となるが、 $x=0$ を考えると $C_2=0$ がわかるので、 \begin{align} e^x y_2(x) &= xe^{3x} \\ \therefore \ \ y_2(x) &= xe^{2x} \end{align} を得る。 （これが与えられた微分方程式と初期条件を満たすことも確認できる。）