神戸大学 大学院
工学研究科 市民工学専攻
2022年度 専門科目 数学 1

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(1)

確率密度関数の規格化の条件より、 $$\begin{align} 1 &= \int_{- \infty}^\infty f(x) dx \\ &= k \int_0^5 x(5-x) dx \\ &= k \left[ \frac{5}{2} x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^5 \\ &= k \frac{125}{6} \\ \therefore \ \ k &= \frac{6}{125} \end{align}$$ がわかる。

(2)

求める確率は、 $$\begin{align} P \left( X \geq 3 \right) &= \int_3^\infty f(x) dx \\ &= 1 - \int_{-\infty}^3 f(x) dx \\ &= 1 - \frac{6}{125} \int_0^3 x(5-x) dx \\ &= \frac{44}{125} \end{align}$$ である。

(3)

$$\begin{align} E \left( X \right) &= \int_{- \infty}^\infty x f(x) dx \\ &= \frac{6}{125} \int_0^5 x^2 (5-x) dx \\ &= \frac{5}{2} \\ E \left( X^2 \right) &= \int_{- \infty}^\infty x^2 f(x) dx \\ &= \frac{6}{125} \int_0^5 x^3 (5-x) dx \\ &= \frac{15}{2} \\ V \left( X \right) &= E \left( X^2 \right) - E \left( X \right)^2 \\ &= \frac{5}{4} \end{align}$$