神戸大学 大学院
工学研究科 市民工学専攻
2022年度 専門科目 数学 4

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まず、 $3xdy/dx=5y$ を考えると、 $$\begin{align} \frac{dy}{y} = \frac{5}{3x} \end{align}$$ なので、積分定数を $A$ として、一般解は $y = A x^{5/3}$ である。 そこで、 $B(x)$ を適当な関数として、 $y = B(x) x^{5/3}$ を与えられた微分方程式に代入すると、 $$\begin{align} \frac{dB(x)}{dx} &= \frac{1}{3} x^{-5/3} \\ \therefore \ \ B(x) &= - \frac{1}{2} x^{-2/3} + C \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{align}$$ を得るので、求める一般解は、 $$\begin{align} y(x) &= \left( - \frac{1}{2} x^{-2/3} + C \right) x^{5/3} \\ &= - \frac{x}{2} + C x^{5/3} \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{align}$$ であることがわかる。