$f(x)$ を最小多項式 $\varphi_A(x)$ で割ったときの商を $g(x),$ 余りを $h(x)$ とする： \begin{align} f(x) = g(x) \varphi_A(x) + h(x) , \ \ \ \ h(x) \text{ は } \varphi_A(x) \text{ より次数が低い } . \end{align} $f(A)=0$ であるから、 \begin{align} 0 &= f(A) \\ &= g(A) \varphi_A(A) + h(A) \\ &= h(A) &( \because \varphi_A(A) = 0 ) \end{align} となるが、 $h(x)$ は最小多項式ではない（最小多項式は $\varphi_A(x)$ である）ので、 $h(x)$ は恒等的に $0$ である： \begin{align} h(x) = 0. \end{align} よって、 $f(x)$ は $\varphi_A(x)$ で割り切れる： \begin{align} f(x) = g(x) \varphi_A(x) . \end{align}
$\varphi_A(x)$ の他に $\psi(x)$ も $A$ の最小多項式であるとすると、 $\psi(A)=0$ が成り立つので、(i) より \begin{align} \psi(x) = g(x) \varphi_A(x) \end{align} と書ける。 ところで、 $\varphi_A(x)$ と $\psi(x)$ は同じ次数であるから $g(x)$ は定数であり、 さらに、どちらも最高次の係数が $1$ であるから $g(x)=1$ でなければならない。 すなわち、 \begin{align} \psi(x) = \varphi_A(x) \end{align} である。
$\varphi_A(x)$ は $x$ の多項式であり、 \begin{align} \varphi_A(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{m-1} x^{m-1} + x^m \end{align} と書けるから、 \begin{align} \varphi_A \left( P^{-1} A P \right) &= a_0 + a_1 \left( P^{-1} A P \right) + a_2 \left( P^{-1} A P \right)^2 + \cdots + a_{m-1} \left( P^{-1} A P \right)^{m-1} + \left( P^{-1} A P \right)^m \\ &= P^{-1} \left( a_0 + a_1 A + a_2 A^2 + \cdots + a_{m-1} A^{m-1} + A^m \right) P \\ &= P^{-1} \varphi_A(A) P \\ &= 0 \end{align} がわかり、 [問1] より $\varphi_A(x)$ は $\varphi_{P^{-1}AP}(x)$ で割り切れることがわかる。 同様に、 \begin{align} \varphi_{P^{-1}AP} (A) &= P \varphi_{P^{-1}AP} \left( P^{-1} A P \right) P^{-1} \\ &= 0 \end{align} であり、 $\varphi_{P^{-1}AP}(x)$ は $\varphi_A(x)$ で割り切れることがわかる。 したがって、適当な定数 $c$ を使って \begin{align} \varphi_{P^{-1}AP} (x) = c \varphi_A (x) \end{align} と書けるが、 $\varphi_{P^{-1}AP} (x)$ も $\varphi_A (x)$ も最高次の係数が $1$ であるから、 $c=1$ であり、 \begin{align} \varphi_{P^{-1}AP} (x) = \varphi_A (x) \end{align} がわかる。
$A$ は対角化可能とし、 ある正則行列 $P$ によって \begin{align} P^{-1} A P &= \text{diag} (\alpha_1, \cdots, \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \cdots, \alpha_s) \\ &\left( = B \text{ とおく } \right) \end{align} と書けるとする（ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ はすべて異なっており、 $i=1,2,\cdots,s$ について $\alpha_i$ の個数を $n_i$ とする ）。
$B$ の固有多項式 $f_B(x)$ は \begin{align} f_B(x) = (x-\alpha_1)^{n_1} (x-\alpha_2)^{n_2} \cdots (x-\alpha_s)^{n_s} \end{align} である。 Hamilton-Cayley の定理より $f_B(B)=0$ であるから、 [問1] より $f_B(x)$ は $B$ の最小多項式 $\varphi_B(x)$ で割り切れるため、 \begin{align} \varphi_B(x) = (x-\alpha_1)^{m_1} (x-\alpha_2)^{m_2} \cdots (x-\alpha_s)^{m_s} \end{align} と書ける。 ただし、 $m_1, m_2, \cdots, m_s$ は、 \begin{align} 0 \leq m_1 \leq n_1, \ 0 \leq m_2 \leq n_2, \ \cdots, \ 0 \leq m_s \leq n_s \end{align} を満たす整数である。 ところが、 \begin{align} g(x) = (x-\alpha_1) (x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_s) \end{align} は、 \begin{align} g(B) &= \text{diag} (0, \cdots, 0, \alpha_2-\alpha_1, \cdots, \alpha_2-\alpha_1, \cdots, \alpha_s-\alpha_1, \cdots, \alpha_s-\alpha_1) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \text{diag} (\alpha_1-\alpha_2 \cdots, \alpha_1-\alpha_2, 0, \cdots, 0, \cdots, \alpha_s-\alpha_2, \cdots, \alpha_s-\alpha_2) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \text{diag} (\alpha_1-\alpha_s \cdots, \alpha_1-\alpha_s, \alpha_2-\alpha_s, \cdots, \alpha_2-\alpha_s, \cdots, 0, \cdots, 0) \\ &= 0 \end{align} を満たすから、 \begin{align} 0 \leq m_1 \leq 1, \ 0 \leq m_2 \leq 1, \ \cdots, \ 0 \leq m_s \leq 1 \end{align} がわかる。 したがって、 $\varphi_B(x)$ は重根をもたない。 （実際には、 \begin{align} m_1 = m_2 = \cdots = m_s = 1 \end{align} であるが、 重根をもたないことを言うためには、そこまで示す必要はない。）
[問2] より、 $A$ の最小多項式 $\varphi_A(x)$ について、 $\varphi_A(x) = \varphi_B(x)$ が成り立つから、 $\varphi_A(x)$ も重根をもたない。
与えられた行列 $A$ の固有多項式は、 \begin{align} \begin{vmatrix} x & -1 & 0 \\ 0 & x-1 & -1 \\ -1 & 1 & x-2 \end{vmatrix} &= x(x-1)(x-2)-1+x \\ &= x^3 - 3x^2+3x-1 \\ &= (x-1)^3 \end{align} であるから、 $A$ の最小多項式の候補は $x-1, (x-1)^2, (x-1)^3$ の3つである。 ところが、$A-E \neq 0$ であるから、 $x-1$ は最小多項式ではない。 よって、最小多項式は $(x-1)^2, (x-1)^3$ のいずれかであり、重根をもつ。 したがって、[問3] の対偶より、 $A$ は対角化可能ではない。