\begin{align} P(x) &= \frac{(x+r-1)!}{x! \ (r-1)!} p^{r-1} (1-p)^x \cdot p \\ &= \frac{(x+r-1)!}{x! \ (r-1)!} p^r (1-p)^x \end{align}
（これは 負の2項分布 である。）
期待値を $E$, 分散を $V$ で表して、次のように計算する： \begin{align} E(X) &= \sum_{x=0}^\infty x P(x) \\ &= \sum_{x=1}^\infty \frac{(x+r-1)!}{(x-1)! \ (r-1)!} p^r (1-p)^x \\ &= \sum_{y=0}^\infty \frac{(y+s-1)!}{y! \ (s-2)!} p^{s-1} (1-p)^{y+1} \ \ \ \ \ \ \ \ (y = x-1, s = r+1) \\ &= \frac{(s-1) (1-p)}{p} \sum_{y=0}^\infty \frac{(y+s-1)!}{y! \ (s-1)!} p^s (1-p)^y \\ &= r \frac{1-p}{p} \\ E(X(X-1)) &= \sum_{x=0}^\infty x (x-1) P(x) \\ &= \sum_{x=2}^\infty \frac{(x+r-1)!}{(x-2)! \ (r-1)!} p^r (1-p)^x \\ &= \sum_{y=0}^\infty \frac{(y+s-1)!}{y! \ (s-3)!} p^{s-2} (1-p)^{y+2} \ \ \ \ \ \ \ \ (y = x-2, s = r+2) \\ &= \frac{(s-1)(s-2) (1-p)^2}{p^2} \sum_{y=0}^\infty \frac{(y+s-1)!}{y! \ (s-1)!} p^s (1-p)^y \\ &= r(r+1) \left( \frac{1-p}{p} \right)^2 \\ V(X) &= E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 \\ &= r(r+1) \left( \frac{1-p}{p} \right)^2 + r \frac{1-p}{p} - \left( r \frac{1-p}{p} \right)^2 \\ &= r \frac{1-p}{p^2} \end{align}
対数尤度関数は、 \begin{align} L &= \log \frac{(x+r-1)!}{x! \ (r-1)!} + r \log p + x \log (1-p) \end{align} であり、 \begin{align} \frac{dL}{dp} &= r \frac{1}{p} + x \frac{-1}{1-p} \\ &= \frac{r-(r+x)p}{p(1-p)} \end{align} であるから、 $p$ の最尤推定量 $\hat{p}$ は、 \begin{align} \hat{p} = \frac{r}{r+x} \end{align} である。
$ r(1-p) = \lambda$ とおくと、 $ p = 1 - \lambda / r $ であり、 \begin{align} P(x) &= \frac{(x+r-1)!}{x! \ (r-1)!} p^r (1-p)^x \\ &= \frac{(x+r-1)(x+r-2) \cdots (r-1)}{x!} \left( 1 - \frac{\lambda}{r} \right)^r \left( \frac{\lambda}{r} \right)^x \\ &= \frac{1}{x!} \left(1 + \frac{x-1}{r} \right) \left(1 + \frac{x-2}{r} \right) \cdots \left(1 + \frac{-1}{r} \right) \left( 1 - \frac{\lambda}{r} \right)^r \lambda^x \\ &\xrightarrow{r \to \infty} \frac{1}{x!} e^{- \lambda} \lambda^x \end{align} を得る。 （これは ポアソン分布 である。）