一橋大学 大学院 経済学研究科
2022年度 経済学
2. 統計学・計量経済学 第2題

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1.

(a)

(i)

$X_{(1)}$ の分布関数 $F_{(1)}(x)$ と確率密度関数 $f_{(1)}(x)$ は、 $x \gt 0$ について、以下のように求められる： $$\begin{align} F_{(1)}(x) &= P \left( X_{(1)} \leq x \right) \\ &= 1 - P \left( X_{(1)} \gt x \right) \\ &= 1 - P \left( X_1 \gt x \text{ and } X_2 \gt x \text{ and } X_3 \gt x \right) \\ &= 1 - \left( \int_x^\infty e^{-t} dt \right)^3 \\ &= 1 - e^{-3x} \\ f_{(1)}(x) &= \frac{d}{dx} F_{(1)}(x) \\ &= 3 e^{-3x} \end{align}$$ また、 $x \leq 0$ では $F_{(1)}(x)=0, f_{(1)}(x)=0$ である。

(ii)

$X_{(2)}$ の分布関数 $F_{(2)}(x)$ と確率密度関数 $f_{(2)}(x)$ は、 $x \gt 0$ について、以下のように求められる： $$\begin{align} F_{(2)}(x) &= P \left( X_{(2)} \leq x \right) \\ &= P \left( X_1 \leq x \text{ and } X_2 \leq x \text{ and } X_3 \leq x \right) + P \left( X_1 \leq x \text{ and } X_2 \leq x \text{ and } X_3 \gt x \right) \\ &\ \ \ \ \ + P \left( X_1 \leq x \text{ and } X_2 \gt x \text{ and } X_3 \leq x \right) + P \left( X_1 \gt x \text{ and } X_2 \leq x \text{ and } X_3 \leq x \right) \\ &= \left( \int_0^x e^{-t} dt \right)^3 + 3 \left( \int_0^x e^{-t} dt \right)^2 \left( \int_x^\infty e^{-t} dt \right) \\ &= \left( 1-e^{-x} \right)^3 + 3 \left( 1-e^{-x} \right)^2 e^{-x} \\ &= \left( 1-e^{-x} \right)^2 \left( 1 + 2e^{-x} \right) \\ f_{(2)}(x) &= \frac{d}{dx} F_{(2)}(x) \\ &= 2 e^{-2x} \left( 1 - e^{-x} \right) \end{align}$$ また、 $x \leq 0$ では $F_{(2)}(x)=0, f_{(2)}(x)=0$ である。

(iii)

$$\begin{align} P \left( X_{(2)} \leq \log 2 \right) &= F_{(2)}( \log 2) \\ &= \left( 1-e^{- \log 2} \right)^2 \left( 1 + 2e^{- \log 2} \right) \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2} \right)^2 \left( 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \end{align}$$

(b)

(i)

$$\begin{align} m(t) &= \sum_{y=0}^\infty e^{ty} P(Y=y) \\ &= p^r \sum_{y=0}^\infty e^{ty} \ {}_{y+r-1} C_{r-1} (1-p)^y \\ &= p^r \sum_{y=0}^\infty {}_{y+r-1} C_{r-1} \left( (1-p) e^t \right)^y \\ &= \frac{p^r}{\left( 1 - (1-p) e^t \right)^r} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ( ただし $(1-p)e^t \lt 1$ すなわち $t \lt \log [1/(1-p)]$ のとき ) } \end{align}$$

(ii)

$t$ による微分を $'$ で表すと、 $$\begin{align} m'(t) &= r p^r (1-p) e^t \left( 1 - (1-p) e^t \right)^{-r-1} \\ m'(0) &= \frac{1-p}{p} r \\ m''(t) &= r p^r (1-p) e^t \left( 1 - (1-p) e^t \right)^{-r-1} \left( 1 + (r+1) \frac{(1-p) e^t}{1-(1-p)e^t} \right) \\ m''(0) &= \frac{(1-p)(1+r-rp)}{p^2} r \end{align}$$ なので、求める期待値 $E(Y)$ と分散 $V(Y)$ は、 $$\begin{align} E(Y) &= m'(0) \\ &= \frac{1-p}{p} r \\ V(Y) &= m''(0) - m'(0)^2 \\ &= \frac{1-p}{p^2} r \end{align}$$ であることがわかる。