\begin{align} \mathrm{grad} \phi = \left(z e^{xz} \sin y + e^x \cos y \right) \boldsymbol{i} + \left(e^{xz} \cos y - e^x \sin y \right) \boldsymbol{j} + x e^{xz} \sin y \boldsymbol{k} \end{align} であり、点 $(1,0,1)$ において、 \begin{align} \mathrm{grad} \phi &= e \boldsymbol{i} + e \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{A} &= \boldsymbol{i} - 2 \boldsymbol{j} + 2 \boldsymbol{k} \\ \left| \boldsymbol{A} \right| &= 3 \end{align} なので、点 $(1,0,1)$ における $\phi$ の勾配の $\boldsymbol{A}$ 方向成分は \begin{align} \mathrm{grad} \phi \cdot \frac{\boldsymbol{A}}{| \boldsymbol{A} |} &= - \frac{e}{3} \end{align} である。
$S$ 上の点の位置ベクトルは $\boldsymbol{r} = x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + (-6x-3y+3) \boldsymbol{k}$ と書け、このとき、 \begin{align} \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} &= \boldsymbol{i} -6 \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} &= \boldsymbol{j} -3 \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} &= 6 \boldsymbol{i} + 3 \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k} \end{align} である。 また、 $S$ 上で $\boldsymbol{A} = (-6x-3y+3) \boldsymbol{i} - 3 \boldsymbol{j} + 4xy \boldsymbol{k}$ なので、 \begin{align} \boldsymbol{A} \cdot \left( \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} \right) &= 4xy-36x-18y+9 \end{align} である。 点 $(x, y, -6x-3y+3)$ が $S$ にあるのは、 $0 \leq x \leq 1/2$ かつ $0 \leq y \leq -2x+1$ のときであるから、 求める面積分は \begin{align} &\int_0^\frac{1}{2} dx \int_0^{-2x+1} dy \left( 4xy-36x-18y+9 \right) \\ &= 4 \int_0^\frac{1}{2} dx \left( 2x^3+7x^2-4x \right) \\ &= - \frac{17}{24} \end{align} である。