\begin{align} 1 &= \iint_\Omega f(x,y) dx dy \\ &= \frac{1}{C} \left\{ \int_0^1 e^{-x} dx \int_0^1 dy + \int_0^1 dx \int_0^1 e^{-y} dy \right\} \\ &= \frac{1}{C} \frac{2(e-1)}{e} \\ \therefore \ \ C &= \frac{2(e-1)}{e} \end{align}
$X,Y$ の周辺確率密度関数をそれぞれ $f_X(x), f_Y(y)$ とすると、 \begin{align} f_X(x) &= \int_0^1 f(x,y) dy \\ &= \frac{1}{C} \int_0^1 (e^{-x} + e^{-y}) dy \\ &= \frac{e}{2(e-1)} e^{-x} + \frac{1}{2} \\ f_Y(y) &= \frac{e}{2(e-1)} e^{-y} + \frac{1}{2} \end{align} であり、 \begin{align} f(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y) \end{align} であるから、 $X$ と $Y$ は独立ではない。
$Y=0$ の条件の下での $X$ の確率密度関数を $f_{X \mid Y=0} (x)$ とすると、 \begin{align} f_{X \mid Y=0} (x) &= \frac{f(x,0)}{f_Y(0)} \\ &= \frac{e(e^{-x} + 1)}{2e-1} \end{align} であるから、求める期待値は、 \begin{align} E(X \mid Y=0) &= \int_0^1 x f_{X \mid Y=0} (x) dx \\ &= \frac{e}{2e-1} \int_0^1 x (e^{-x} + 1) dx \\ &= \frac{3e-4}{2(2e-1)} \end{align} である。