\begin{align} \boldsymbol{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{p}_2 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{p}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}
\begin{align} \boldsymbol{p}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{p}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{p}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}
\begin{align} X &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ X^T X &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \end{align}
\begin{align} X &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ X^T X &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \end{align}
ベクトル $\boldsymbol{a}$ のノルムを $|\boldsymbol{a}|$ で表す。
与えられた定義より、 \begin{align} g_{i,j} &= d_{i,n+1}^2 + d_{j,n+1}^2 - d_{i,j} \\ &= \left| \boldsymbol{p}_i - \boldsymbol{p}_{n+1} \right|^2 + \left| \boldsymbol{p}_j - \boldsymbol{p}_{n+1} \right|^2 - \left| \boldsymbol{p}_i - \boldsymbol{p}_j \right|^2 \\ &= 2 \left( \boldsymbol{p}_i^T \boldsymbol{p}_j - \boldsymbol{p}_i^T \boldsymbol{p}_{n+1} - \boldsymbol{p}_j^T \boldsymbol{p}_{n+1} + \left| \boldsymbol{p}_{n+1} \right|^2 \right) \\ X^T X &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1^T \\ \boldsymbol{x}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_n^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_2 & \cdots & \boldsymbol{x}_n \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_2 & \cdots & \boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_n & \\ \boldsymbol{x}_2^T \boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_2^T \boldsymbol{x}_2 & \cdots & \boldsymbol{x}_2^T \boldsymbol{x}_n & \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_n^T \boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_n^T \boldsymbol{x}_2 & \cdots & \boldsymbol{x}_n^T \boldsymbol{x}_n & \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{x}_j &= \left( \boldsymbol{p}_i - \boldsymbol{p}_{n+1} \right)^T \left( \boldsymbol{p}_j - \boldsymbol{p}_{n+1} \right) \\ &= \boldsymbol{p}_i^T \boldsymbol{p}_j - \boldsymbol{p}_i^T \boldsymbol{p}_{n+1} - \boldsymbol{p}_j^T \boldsymbol{p}_{n+1} + \left| \boldsymbol{p}_{n+1} \right|^2 \end{align} なので、 \begin{align} G = 2 X^T X \end{align} がわかる。 よって、任意の $\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n$ について \begin{align} \boldsymbol{v}^T G \boldsymbol{v} &= 2 \boldsymbol{v}^T X^T X \boldsymbol{v} \\ &= 2 \left( X \boldsymbol{v} \right)^T X \boldsymbol{v} \\ &= 2 \left| X \boldsymbol{v} \right|^2 \\ &\geq 0 \end{align} が成り立つので、 $G$ は半正定値である。