\begin{align} \frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{dv_i}{dt} \end{align}
\begin{align} \frac{df}{dt} = (2x_1+x_2) \cos t + (x_1+4x_2)e^t \end{align} あるいは、 $x_1, x_2$ は使わず $t$ のみで表すと、 \begin{align} \frac{df}{dt} = \sin 2t + e^t \cos t + e^t \sin t + 4 e^{2t} \end{align}
まず、与えられた微分方程式の右辺を $0$ とした方程式 \begin{align} \frac{dy}{dx} - 2xy = 0 \end{align} を考えると、これは \begin{align} \frac{dy}{y} = 2x dx \end{align} と変形できるので、一般解は、$A$ を任意定数として、次のように求まる： \begin{align} y = A e^{x^2} . \end{align} そこで、 $A$ を $x$ の関数と考えて、 $y = A(x)e^{x^2}$ を与えられた微分方程式に代入すると、 \begin{align} \frac{dA(x)}{dx} &= 1 \\ \therefore \ \ A(x) &= x + C \end{align} を得るので、求める一般解は \begin{align} y = (x+C) e^{x^2} \end{align} である。 ただし、 $C$ は任意定数である。
$w=z-\pi/2$ として、次のように $w=0$ においてローラン展開できる： \begin{align} \frac{\cos z}{(2z - \pi)^3} &= - \frac{1}{8} \frac{\sin w}{w^3} \\ &= - \frac{1}{8w^3} \left( w - \frac{1}{6} w^3 + \cdots \right) \\ &= - \frac{1}{8} \left( \frac{1}{w^2} - \frac{1}{6} + \cdots \right) . \end{align} よって、 \begin{align} \oint_C \frac{\cos z}{(2 \pi - z)^2} = 0 \end{align} がわかる。