$S_1$ 上の点は \begin{align} \boldsymbol{i} \cos \varphi + y \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k} \sin \varphi \ \ \ \ (0 \leq \varphi \lt 2 \pi, \ \ 0 \leq y \leq 4) \end{align} と表せる。 $S_1$ の外向きの単位法線ベクトルを $\boldsymbol{n}$ とすると、 \begin{align} \boldsymbol{n} &= \boldsymbol{i} \cos \varphi + \boldsymbol{k} \sin \varphi \\ \boldsymbol{F} &= \boldsymbol{i} \cos \varphi + 2y \boldsymbol{j} + 10 \boldsymbol{k} \sin \varphi \\ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} &= \cos^2 \varphi + 10 \sin^2 \varphi \\ &= \frac{11}{2} - \frac{9}{2} \cos 2 \varphi \end{align} なので、求める積分は \begin{align} \int_{S_1} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} &= \int_0^{2 \pi} d \varphi \int_0^4 dy \left( \frac{11}{2} - \frac{9}{2} \cos 2 \varphi \right) \\ &= 44 \pi \end{align} である。
$S_2$ を次のように2つに分けて考える： \begin{align} S_2' \ &: \ \ x^2 + z^2 = 1 \ \ (0 \leq y \leq 4, \ 0 \leq z) , \\ S_2'' \ &: \ \ z=0 \ \ (-1 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 4) . \end{align} $S_2'$ 上では (1) と同様に計算できる： \begin{align} \int_{S_2'} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} &= \int_0^{\pi} d \varphi \int_0^4 dy \left( \frac{11}{2} - \frac{9}{2} \cos 2 \varphi \right) \\ &= 22 \pi . \end{align} $S_2''$ 上では、外向き単位法線ベクトルは $\boldsymbol{n} = - \boldsymbol{k}$ で、 $\boldsymbol{F} = x \boldsymbol{i} + 2y \boldsymbol{j}$ なので、 $\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} = 0$ であり、 面積分は $0$ である。 よって、求める積分は \begin{align} \int_{S_2} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} &= \int_{S_2'} dS \ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \\ &= 22 \pi \end{align} である。