$\exp(-x^2)$ は偶関数であるから、 \begin{align} \int_{- \infty}^\infty \exp \left( -x^2 \right) dx = \sqrt{\pi} \end{align} より、 \begin{align} \int_0^\infty \exp \left( -x^2 \right) dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \tag{A} \end{align} がわかる。
$y=x^2$ とおくと、 $dy=2xdx$ であり、次のように計算できる： \begin{align} I &= \frac{1}{2} \int_0^\infty y^2 \exp \left( - y^2 \right) dy \\ &= \frac{1}{2} \int_0^\infty y \left( - \frac{1}{2} \exp \left( - y^2 \right) \right)' dy & \left( \ ' \text{ は } y { による微分 } \right) \\ &= - \frac{1}{4} \left[ y \exp \left( - y^2 \right) \right]_0^\infty + \frac{1}{4} \int_0^\infty \exp \left( - y^2 \right) dy \\ &= \frac{\pi}{8} . & ( \because \text{ 式 (A) } ) \end{align}