\begin{align} \frac{dy}{dx} + y = 0 \end{align} の一般解は \begin{align} y &= Ce^{-x} & ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。 このことを考慮して、与えられた微分方程式 \begin{align} \frac{dy}{dx} + y = x \sinh x \end{align} に $y=ze^{-x}$ ( $z$ は $x$ の関数 ) を代入すると、 \begin{align} \frac{dz}{dx} e^{-x} - z e^{-x} + z e^{-x} &= x \sinh x \\ \frac{dz}{dx} e^{-x} &= x \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \frac{dz}{dx} &= \frac{1}{2} \left( x e^{2x} - x \right) \\ \therefore \ \ z &= \frac{1}{2} \int \left( x e^{2x} - x \right) dx \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} - \frac{x^2}{2} \right) + C & ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} を得るので、求める一般解は \begin{align} y &= \frac{1}{4} x e^x - \frac{1}{8} e^x - \frac{1}{4} x^2 e^{-x} + C e^{-x} & ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} であることがわかる。