$z^4+1=0$ に $z= r e^{i \theta}$ ( $r \gt 0, \theta$ は実数) を代入すると \begin{align} r^4 e^{4i \theta} = -1 \end{align} であり、 \begin{align} r = 1 , \ \ 4 \theta = \pi + 2 \pi \cdot \text{ 整数 } \end{align} となる。 よって、 $f(z)$ は \begin{align} z &= e^{\pi/4}, e^{3\pi/4}, e^{5\pi/4}, e^{7\pi/4} \\ &= \frac{1+i}{\sqrt{2}}, \frac{1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1-i}{\sqrt{2}}, \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \end{align} に1位の極をもつ。
(a) で求めた4つの極は \begin{align} z_0 &= e^{\pi/4} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}, \\ z_1 &= e^{3\pi/4} = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}, \\ z_2 &= e^{5\pi/4} = \frac{-1-i}{\sqrt{2}}, \\ z_3 &= e^{7\pi/4} = \frac{1-i}{\sqrt{2}} \end{align} であるが、このうち $C$ の内側にあるのは $z_0, z_1$ である。 \begin{align} z_0 - z_1 &= \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ,\\ z_0 - z_2 &= \frac{2+2i}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (1+i) ,\\ z_0 - z_3 &= \frac{2i}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} i ,\\ z_1 - z_0 &= \frac{-2}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2} ,\\ z_1 - z_2 &= \frac{2i}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} i ,\\ z_1 - z_3 &= \frac{-2+2i}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (-1+i) \end{align} なので、 $z_0$ における留数は \begin{align} \lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z) &= \frac{1}{(z_0-z_1)(z_0-z_2)(z_0-z_3)} \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{2} (-1+i)} \\ &= - \frac{1}{4 \sqrt{2}} (1+i) \end{align} であり、 $z_1$ における留数は \begin{align} \lim_{z \to z_1} (z-z_1) f(z) &= \frac{1}{(z_1-z_0)(z_1-z_2)(z_1-z_3)} \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{2} (1+i)} \\ &= - \frac{1}{4 \sqrt{2}} (1-i) \end{align} である。 よって、留数定理より \begin{align} \oint_C f(z) dz &= 2 \pi i \left( - \frac{1}{4 \sqrt{2}} (1+i) - \frac{1}{4 \sqrt{2}} (1-i) \right) \\ &= - \frac{\pi i}{\sqrt{2}} \end{align} がわかる。