曲面 $x=f(x,y)$ 上の点 $P(x,y,f(x,y)), Q(x+\Delta x, y, f(x+\Delta x, y, f(x+\Delta x, y)), R(x, y+\Delta y, f(x, y+\Delta y)) $ を考えると、 $\Delta x, \Delta y$ の1次までで \begin{align} \overrightarrow{PQ} &\simeq \left( \Delta x, 0, \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x \right) = \left( 1, 0, \frac{\partial f}{\partial x} \right) \Delta x \\ \overrightarrow{PR} &\simeq \left( 0, \Delta y, \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \right) = \left( 0, 1, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \Delta y \end{align} であり、これらのベクトル積とその大きさは \begin{align} \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} &= \left( - \frac{\partial f}{\partial x}, - \frac{\partial f}{\partial y}, 1 \right) \Delta x \Delta y \\ \left| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} \right| &= \left| \Delta x \Delta y \right| \sqrt{ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 + 1 } \\ &= \left| \Delta x \Delta y \right| \sqrt{ x^2 + y^2 + 1 } \end{align} である。 よって、 \begin{align} S = 4 \iint_D dx dy \sqrt{x^2+y^2+1} \end{align} がわかる。
$x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta$ によって2次元極座標 $(r, \theta)$ を導入すると、 $dxdy = r dr d \theta$ であり、次のように計算できる： \begin{align} S &= 4 \int_0^2 dr r \sqrt{r^2 + 1} \int_0^{\pi/2} d \theta \\ &= \frac{2 \pi}{3} \left[ \left( r^2 + 1 \right)^{3/2} \right]_0^2 \\ &= \frac{2 \left( 5 \sqrt{5} - 1 \right) \pi}{3} \end{align}