\begin{align} A^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ A^3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ A^n &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ (n = 4, 5, 6, \cdots) \end{align}
4次の単位行列を $E$ とすると、 \begin{align} B = bE+A \end{align} であり、まず、 \begin{align} B^2 &= b^2 E + 2bA + A^2 \\ &= \begin{pmatrix} b^2 & 2b & 1 & 0 \\ 0 & b^2 & 2b & 1 \\ 0 & 0 & b^2 & 2b \\ 0 & 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix} \end{align} がわかる。 また、 \begin{align} B^3 &= b^3 E + 3b^2A + 3bA^2 + A^3 \\ &= \begin{pmatrix} b^3 & 3b^2 & 3b & 1 \\ 0 & b^3 & 3b^2 & 3b \\ 0 & 0 & b^3 & 3b^2 \\ 0 & 0 & 0 & b^3 \end{pmatrix} \\ B^4 &= b^4 E + 4b^3A + 6b^2A^2 + 3bA^3 + A^4 \\ &= b^4 E + 4b^3A + 6b^2A^2 + 3bA^3 \\ &= \begin{pmatrix} b^4 & 4b^3 & 6b^2 & 4b \\ 0 & b^4 & 4b^3 & 6b^2 \\ 0 & 0 & b^4 & 4b^3 \\ 0 & 0 & 0 & b^4 \end{pmatrix} \end{align} から、 $n = 3, 4, 5, \cdots$ について \begin{align} B^n &= b^n E + nb^{n-1}A + \frac{n(n-1)}{2} b^{n-2}A^2 + nbA^3 \\ &= \begin{pmatrix} b^n & nb^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2}b^{n-2} & nb^{n-3} \\ 0 & b^n & nb^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2}b^{n-2} \\ 0 & 0 & b^n & nb^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & b^n \end{pmatrix} \end{align} がわかる。
$C$ の固有値は $-2, 3$ であるから、次のように対角化できる： \begin{align} \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{align}